高中数学试题

已知椭圆 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$上两个不同的点 $A,B$关于直线 $y=mx+\frac{1}{2}$对称．

（1）求实数 $m$的取值范围；
（2）求 $△AOB$面积的最大值（ $O$为坐标原点）．

已知函数 $f\left(x\right)=x^2+ax+b(a,b\in R)$，记 $M(a,b)$是 $\left|f\left(x\right)\right|$在区间 $\left[-1,1\right]$上的最大值.
（1）证明：当 $\left|a\right|\ge 2$时， $M(a,b)\ge 2$；
（2）当 $a$, $b$满足 $M(a,b)\le 2$，求 $\left|a\right|+\left|b\right|$的最大值.

在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求的极坐标方程.
（Ⅱ）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求的面积.

已知过点 $A\left(1,0\right)$且斜率为 $k$的直线 $l$与圆 $C:{\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2=1$交于 $M,N$两点.
（Ⅰ）求 $k$的取值范围；
（Ⅱ） $\stackrel{\rightharpoonup }{OM}·\stackrel{\rightharpoonup }{ON}=12$,其中 $O$为坐标原点,求 $\left|MN\right|$.

已知函数 $f\left(x\right)=x^3+ax+\frac{1}{4},g\left(x\right)=-\ln x$.
（Ⅰ）当 $a$为何值时， $x$轴为曲线 $y=f\left(x\right)$的切线；
（Ⅱ）用 $min$ $\left\{m,n\right\}$表示 $m,n$中的最小值，设函数 $h\left(x\right)=min\left\{f\left(x\right),g\left(x\right)\right\}\left(x>0\right)$，讨论 $h\left(x\right)$）零点的个数.

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 $x$（单位：千元）对年销售量 $y$（单位： $t$）和年利润 $z$（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费 $x_i$和年销售量 $y_i$（ $i$=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

46.6	56.3	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中，=
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利率的预报值最大？
附：对于一组数据,，……，,其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

如图，椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$，过点 $P(0,1)$的动直线 $l$与椭圆相交于 $A,B$两点，当直线 $l$平行与 $x$轴时，直线 $l$被椭圆 $E$截得的线段长为 $2\sqrt{2}$.

（1）求椭圆 $E$的方程；
（2）在平面直角坐标系 $xOy$中，是否存在与点 $P$不同的定点 $Q$，使得 $\frac{\left|QA\right|}{\left|QB\right|}=\frac{\left|PA\right|}{\left|PB\right|}$恒成立？若存在，求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由.

已知数列 $\left\{a_n\right\}$与 $\left\{b_n\right\}$满足 $a_{n+1}-a_n=2(b_{n+1}-b_n),n\in N^{+}$.
（1）若 $b_n=3n+5$，且 $a_1=1$，求数列 $\left\{a_n\right\}$的通项公式；
（2）设 $\left\{a_n\right\}$的第 $n_0$项是最大项，即 $a_{n_0}>a_n(n\in N^{+})$，求证：数列 $\left\{b_n\right\}$的第 $n_0$项是最大项；
（3）设 $a_1=\lambda <0,b_n={\lambda }^n(n\in N^{+})$，求 $\lambda$的取值范围，使得 $\left\{a_n\right\}$有最大值 $M$与最小值 $m$，且 $\frac{M}{m}\in (-2,2)$.

已知椭圆 $x^2+2y^2=1$，过原点的两条直线 $l_1$和 $l_2$分别于椭圆交于 $A,B$和 $C,D$，记得到的平行四边形 $ABCD$的面积为 $S$.
（1）设 $A(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$，用 $A,C$的坐标表示点 $C$到直线 $l_1$的距离，并证明 $S=2\left|x_1{y}_1-x_2{y}_2\right|$；
（2）设 $l_1$与 $l_2$的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$，求面积 $S$的值.

如图1，在直角梯形 $ABCD$中， $AD//BC,\angle BAD=\frac{\pi }{2},AB=BC=\frac{1}{2}AD=a,$， $E$是 $AD$的中点， $O$是 $OC$与 $BE$的交点，将 $△ABE$沿 $BE$折起到图2中 $△A_{1}BE$的位置，得到四棱锥 $A_1-BCDE$.

（Ⅰ）证明： $CD\perp$平面 $A_{1}OC$；
（Ⅱ）当平面 $A_{1}BE\perp$平面 $BCDE$时，四棱锥 $A_1-BCDE$的体积为 $36\sqrt{2}$，求 $a$的值.

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 在如图所示的阳马 $P-ABCD$ 中，侧棱 $PD\perp$ 底面 $ABCD$ ，且 $PD=CD$ ，点 $E$ 是 $PC$ 的中点，连接 $DE,BD,BE$ ．

（Ⅰ）证明： $DE\perp$ 平面 $PBC$ ． 试判断四面体 $EBCD$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马 $P-ABCD$ 的体积为 $V_1$ ，四面体 $EBCD$ 的体积为 $V_2$ ，求 $\frac{V_1}{V_2}$ $ABCD$ 的值．

已知数列的各项均为正数，，为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数的单调区间，并比较与的大小；
（Ⅱ）计算，由此推测计算的公式，并给出证明；
（Ⅲ）令，数列，的前项和分别记为, 证明：．

一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，．当栓子在滑槽内作往复运动时，带动绕转动一周（不动时，也不动），处的笔尖画出的曲线记为．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线总与曲线有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 $A,B$ 两种奶制品．生产1吨 $A$ 产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨 $B$ 产品需鲜牛奶1．5吨，使用设备1．5小时，获利1200元．要求每天 $B$ 产品的产量不超过 $A$ 产品产量的2倍，设备每天生产 $A,B$ 两种产品时间之和不超过12小时．假定每天可获取的鲜牛奶数量 $W$ （单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 $Z$ （单位：元）是一个随机变量．

（Ⅰ）求 $Z$ 的分布列和均值；
（Ⅱ）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．

设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为.
（Ⅰ）求的离心率；
（Ⅱ）设点的坐标为，为线段的中点，点N关于直线的对称点的纵坐标为，求的方程.