初中数学反比例函数与一次函数的交点问题试题

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=\mathit{mx}+n(m\ne 0)$的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$的图象交于第一、三象限内的 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，过点 $B$作 $\mathit{BM}\perp x$轴，垂足为 $M$， $\mathit{BM}=\mathit{OM}$， $\mathit{OB}=2\sqrt{2}$，点 $A$的纵坐标为4．

（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；

（2）连接 $\mathit{MC}$，求四边形 $\mathit{MBOC}$的面积．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的 $A$ ， $B$ 两点，与 $x$ 轴交于点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $D$ ，点 $B$ 的坐标是 $(m,-4)$ ，连接 $\mathit{AO}$ ， $\mathit{AO}=5$ ， $\sin \angle \mathit{AOC}=\frac{3}{5}$ ．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）连接 $\mathit{OB}$ ，求 $\mathit{\Delta AOB}$ 的面积．

在平面直角坐标系中，一次函数 $y=\mathit{ax}+b(a\ne 0)$ 的图形与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$ 的图象交于第二、四象限内的 $A$ 、 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，过点 $A$ 作 $\mathit{AH}\perp y$ 轴，垂足为 $H$ ， $\mathit{OH}=3$ ， $\tan \angle \mathit{AOH}=\frac{4}{3}$ ，点 $B$ 的坐标为 $(m,-2)$ ．

（1）求 $\mathit{\Delta AHO}$ 的周长；

（2）求该反比例函数和一次函数的解析式．

已知点 $A$ 是直线 $y=2x$ 与双曲线 $y=\frac{m+1}{x}(m$ 为常数）一支的交点，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $B$ ，且 $\mathit{OB}=2$ ，则 $m$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$-7$

B．

$-8$

C．

8

D．

7

如图，一次函数 $y_1=k_{1}x+b(k_1\ne 0)$的图象分别与 $x$轴， $y$轴相交于点 $A$， $B$，与反比例函数 $y_2=\frac{k_2}{x}(k_2\ne 0)$的图象相交于点 $C(-4,-2)$， $D(2,4)$．

（1）求一次函数和反比例函数的表达式；

（2）当 $x$为何值时， $y_1>0$；

（3）当 $x$为何值时， $y_1<y_2$，请直接写出 $x$的取值范围．

若一个反比例函数的图象与直线 $y=-2x+6$的一个交点为 $A(m,-4)$，则这个反比例函数的表达式是　　．

若正比例函数 $y=-\frac{1}{2}x$的图象与反比例函数 $y=\frac{2k-1}{x}(k\ne \frac{1}{2})$的图象有公共点，则 $k$的取值范围是　　

已知一次函数 $y=2x+4$的图象分别交 $x$轴、 $y$轴于 $A$、 $B$两点，若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点 $C$，且 $\mathit{AB}=2\mathit{BC}$，则这个反比例函数的表达式为　　．

已知正比例函数 $y_1$ 的图象与反比例函数 $y_2$ 的图象相交于点 $A(2,4)$ ，下列说法正确的是 $($ 　　 $)$

A．	反比例函数 $y_2$ 的解析式是 $y_2=-\frac{8}{x}$
B．	两个函数图象的另一交点坐标为 $(2,-4)$
C．	当 $x<-2$ 或 $0<x<2$ 时， $y_1<y_2$
D．	正比例函数 $y_1$ 与反比例函数 $y_2$ 都随 $x$ 的增大而增大

如图，直线 $y=k_{1}x(x⩾0)$与双曲线 $y=\frac{k_2}{x}(x>0)$相交于点 $P(2,4)$．已知点 $A(4,0)$， $B(0,3)$，连接 $\mathit{AB}$，将 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$沿 $\mathit{OP}$方向平移，使点 $O$移动到点 $P$，得到△ $A^{\text{'}}P{B}^{\text{'}}$．过点 $A^{\text{'}}$作 $A^{\text{'}}C//y$轴交双曲线于点 $C$．

（1）求 $k_1$与 $k_2$的值；

（2）求直线 $\mathit{PC}$的表达式；

（3）直接写出线段 $\mathit{AB}$扫过的面积．

模具厂计划生产面积为4，周长为 $m$的矩形模具．对于 $m$的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：

（1）建立函数模型

设矩形相邻两边的长分别为 $x$， $y$，由矩形的面积为4，得 $\mathit{xy}=4$，即 $y=\frac{4}{x}$；由周长为 $m$，得 $2(x+y)=m$，即 $y=-x+\frac{m}{2}$．满足要求的 $(x,y)$应是两个函数图象在第　一　象限内交点的坐标．

（2）画出函数图象

函数 $y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象如图所示，而函数 $y=-x+\frac{m}{2}$的图象可由直线 $y=-x$平移得到．请在同一直角坐标系中直接画出直线 $y=-x$．

（3）平移直线 $y=-x$，观察函数图象

①当直线平移到与函数 $y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象有唯一交点 $(2,2)$时，周长 $m$的值为　　；

②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长 $m$的取值范围．

（4）得出结论

若能生产出面积为4的矩形模具，则周长 $m$的取值范围为　　．

如图，一次函数 $y=-x+b$与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象交于点 $A(m,3)$和 $B(3,1)$．

（1）填空：一次函数的解析式为　　，反比例函数的解析式为　　；

（2）点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上一点，过点 $P$作 $\mathit{PD}\perp x$轴于点 $D$，连接 $\mathit{OP}$，若 $\mathit{\Delta POD}$的面积为 $S$，求 $S$的取值范围．

如图，一次函数 $y=\frac{4}{3}x+b$的图象与 $y$轴交于点 $B(0,2)$，与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x<0)$的图象交于点 $D(m,n)$．以 $\mathit{BD}$为对角线作矩形 $\mathit{ABCD}$，使顶点 $A$， $C$落在 $x$轴上（点 $A$在点 $C$的右边）， $\mathit{BD}$与 $\mathit{AC}$交于点 $E$．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求点 $A$的坐标．

如图，直线 $y_1=k_{1}x$ 与双曲线 $y_2=\frac{k_2}{x}$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，其中点 $A$ 的横坐标为1，当 $y_1<y_2$ 时， $x$ 的取值范围是 $($ 　　 $)$

A．	$x<-1$ 或 $x>1$	B．	$x<-1$ 或 $0<x<1$
C．	$-1<x<0$ 或 $0<x<1$	D．	$-1<x<0$ 或 $x>1$

在平面直角坐标系中，反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k\ne 0)$图象与一次函数 $y=x+2$图象的一个交点为 $P$，且点 $P$的横坐标为1，求该反比例函数的解析式．