初中数学二次函数的性质解答题

2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数（人与时间（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中表示

时间（分钟）	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
人数（人	0	170	320	450	560	650	720	770	800	810	810

（1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出与之间的函数关系式；

（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？

（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？

如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为．已知，．请答案下列问题：

（1）求抛物线的解析式，并直接写出点的坐标；

（2）抛物线的对称轴与轴交于点，连接，的垂直平分线交直线于点，则线段的长为　　．

注：抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是，．

已知抛物线交轴于点和点，交轴于点．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）如图（1），点是抛物线上位于直线上方的动点，过点分别作轴、轴的平行线，交直线于点，，当取最大值时，求点的坐标；

（3）如图（2），点为抛物线对称轴上一点，点为抛物线上一点，当直线垂直平分的边时，求点的坐标．

如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，点是直线上的动点，过点作于点，点的坐标为，连接，．设点的纵坐标为，的面积为．

（1）当时，请直接写出点的坐标；

（2）关于的函数解析式为，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出与的值；

（3）在上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请求出此时点的坐标和的面积；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，，则该抛物线的解析式可以表示为：

．

（1）若，抛物线与轴交于，，直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）若，如图（1），，，点在线段上，抛物线与轴交于，，顶点为；抛物线与轴交于，，顶点为．当，，三点在同一条直线上时，求的值；

（3）已知抛物线与轴交于，，线段的端点，．若抛物线与线段有公共点，结合图象，在图（2）中探究的取值范围．

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，抛物线 $G:y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(0<a<12)$ 过点 $A(1,c-5a)$ ， $B(x_1$ ， $3)$ ， $C(x_2$ ， $3)$ ．顶点 $D$ 不在第一象限，线段 $\mathit{BC}$ 上有一点 $E$ ，设 $\mathit{\Delta OBE}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta OCE}$ 的面积为 $S_2$ ， $S_1=S_2+\frac{3}{2}$ ．

（1）用含 $a$ 的式子表示 $b$ ；

（2）求点 $E$ 的坐标：

（3）若直线 $\mathit{DE}$ 与抛物线 $G$ 的另一个交点 $F$ 的横坐标为 $\frac{6}{a}+3$ ，求 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 在 $1<x<6$ 时的取值范围（用含 $a$ 的式子表示）．

在平面直角坐标系中，已知抛物线和直线，点，均在直线上．

（1）若抛物线与直线有交点，求的取值范围；

（2）当，二次函数的自变量满足时，函数的最大值为，求的值；

（3）若抛物线与线段有两个不同的交点，请直接写出的取值范围．

已知抛物线和

（1）如何将抛物线平移得到抛物线？

（2）如图1，抛物线与轴正半轴交于点，直线经过点，交抛物线于另一点．请你在线段上取点，过点作直线轴交抛物线于点，连接．

①若，求点的横坐标；

②若，直接写出点的横坐标．

（3）如图2，的顶点、在抛物线上，点在点右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、均与轴不平行．若的面积为2，设、两点的横坐标分别为、，求与的数量关系．

如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于点，．

（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；

（2）如图2，连接，，设点是抛物线上位于第一象限内的一动点，且在对称轴右侧，过点作于点，交轴于点，过点作交于点，交轴于点．设线段的长为，求与的函数关系式，并注明的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若的面积为，

①求点的坐标；

②设为直线上一动点，连接，直线交直线于点，则点在运动过程中，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点及其对应的点的坐标；若不存在，请说明理由．

若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数．

（1）若是的伴随函数，求直线与两坐标轴围成的三角形的面积；

（2）若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4，求，的值．

已知二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$

（1）若 $a=1$ ， $b=-2$ ， $c=-1$

①求该二次函数图象的顶点坐标；

②定义：对于二次函数 $y=p{x}^2+\mathit{qx}+r(p\ne 0)$ ，满足方程 $y=x$ 的 $x$ 的值叫做该二次函数的"不动点"．求证：二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 有两个不同的"不动点"．

（2）设 $b=\frac{1}{2}{c}^3$ ，如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{Oxy}$ 中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴分别相交于不同的两点 $A(x_1$ ， $0)$ ， $B(x_2$ ， $0)$ ，其中 $x_1<0$ ， $x_2>0$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，连结 $\mathit{BC}$ ，点 $D$ 在 $y$ 轴的正半轴上，且 $\mathit{OC}=\mathit{OD}$ ，又点 $E$ 的坐标为 $(1,0)$ ，过点 $D$ 作垂直于 $y$ 轴的直线与直线 $\mathit{CE}$ 相交于点 $F$ ，满足 $\angle \mathit{AFC}=\angle \mathit{ABC}$ ． $\mathit{FA}$ 的延长线与 $\mathit{BC}$ 的延长线相交于点 $P$ ，若 $\frac{\mathit{PC}}{\mathit{PA}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5a^2+1}}$ ，求二次函数的表达式．

已知抛物线，为常数）．

（1）若抛物线的顶点坐标为，求，的值；

（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求的取值范围；

（3）在（1）的条件下，存在正实数，，当时，恰好，求，的值．

如图1，的三个顶点、、分别落在抛物线的图象上，点的横坐标为，点的纵坐标为．（点在点的左侧）

（1）求点、的坐标；

（2）将绕点逆时针旋转得到△，抛物线经过、两点，已知点为抛物线的对称轴上一定点，且点恰好在以为直径的圆上，连接、，求△的面积；

（3）如图2，延长交抛物线于点，连接，在坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与△相似．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点、在抛物线上，的平分线交于点，点是的中点，已知，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）、分别为轴，轴上的动点，顺次连接、、、构成四边形，求四边形周长的最小值；

（3）在轴下方且在抛物线上是否存在点，使中边上的高为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）矩形不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点、，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．