初中数学全等三角形的判定与性质试题

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $O$ 是对角线 $\mathit{BD}$ 的中点，点 $P$ 在线段 $\mathit{OD}$ 上，连接 $\mathit{AP}$ 并延长交 $\mathit{CD}$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PF}\perp \mathit{AP}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{AF}$ 交 $\mathit{BD}$ 于 $G$ ，现有以下结论：① $\mathit{AP}=\mathit{PF}$ ；② $\mathit{DE}+\mathit{BF}=\mathit{EF}$ ；③ $\mathit{PB}-\mathit{PD}=\sqrt{2}\mathit{BF}$ ；④ $S_{\mathit{\Delta AEF}}$ 为定值；⑤ $S_{\mathit{四边形}\mathit{PEFG}}=S_{\mathit{\Delta APG}}$ ．以上结论正确的有 　　（填入正确的序号即可）．

如图1，已知四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形，点 $E$在 $\mathit{BA}$的延长线上， $\mathit{AE}=\mathit{AD}$． $\mathit{EC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $G$，与 $\mathit{AD}$相交于点 $F$， $\mathit{AF}=\mathit{AB}$．

（1）求证： $\mathit{BD}\perp \mathit{EC}$；

（2）若 $\mathit{AB}=1$，求 $\mathit{AE}$的长；

（3）如图2，连接 $\mathit{AG}$，求证： $\mathit{EG}-\mathit{DG}=\sqrt{2}\mathit{AG}$．

已知正方形 $\mathit{ABCD}$ 与正方形 $\mathit{AEFG}$ ，正方形 $\mathit{AEFG}$ 绕点 $A$ 旋转一周．

（1）如图①，连接 $\mathit{BG}$ 、 $\mathit{CF}$ ，求 $\frac{\mathit{CF}}{\mathit{BG}}$ 的值；

（2）当正方形 $\mathit{AEFG}$ 旋转至图②位置时，连接 $\mathit{CF}$ 、 $\mathit{BE}$ ，分别取 $\mathit{CF}$ 、 $\mathit{BE}$ 的中点 $M$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{MN}$ 、试探究： $\mathit{MN}$ 与 $\mathit{BE}$ 的关系，并说明理由；

（3）连接 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BF}$ ，分别取 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BF}$ 的中点 $N$ 、 $Q$ ，连接 $\mathit{QN}$ ， $\mathit{AE}=6$ ，请直接写出线段 $\mathit{QN}$ 扫过的面积．

已知：如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$、 $F$分别在边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$上， $\mathit{BE}=\mathit{FD}$， $\mathit{AF}$的延长线交 $\mathit{BC}$的延长线于点 $H$， $\mathit{AE}$的延长线交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $G$．

[小题1]求证： $\mathit{\Delta AFD}\backsim \mathit{\Delta GAD}$；

[小题2]如果 $D{F}^2=\mathit{CF}·\mathit{CD}$，求证： $\mathit{BE}=\mathit{CH}$．

如图，在每个小正方形的边长为1的网格中， $\mathit{\Delta ABC}$ 的顶点 $A$ ， $C$ 均落在格点上，点 $B$ 在网格线上．

（Ⅰ）线段 $\mathit{AC}$ 的长等于 　　；

（Ⅱ）以 $\mathit{AB}$ 为直径的半圆的圆心为 $O$ ，在线段 $\mathit{AB}$ 上有一点 $P$ ，满足 $\mathit{AP}=\mathit{AC}$ ．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点 $P$ ，并简要说明点 $P$ 的位置是如何找到的（不要求证明） 　　．

在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动． $\mathit{\Delta ABC}$是边长为2的等边三角形， $E$是 $\mathit{AC}$上一点，小亮以 $\mathit{BE}$为边向 $\mathit{BE}$的右侧作等边三角形 $\mathit{BEF}$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）如图1，当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上时， $\mathit{EF}$、 $\mathit{BC}$相交于点 $D$，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．

（2）当点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上运动时，点 $F$也随着运动，若四边形 $\mathit{ABFC}$的面积为 $\frac{7}{4}\sqrt{3}$，求 $\mathit{AE}$的长．

（3）如图2，当点 $E$在 $\mathit{AC}$的延长线上运动时， $\mathit{CF}$、 $\mathit{BE}$相交于点 $D$，请你探求 $\mathit{\Delta ECD}$的面积 $S_1$与 $\mathit{\Delta DBF}$的面积 $S_2$之间的数量关系．并说明理由．

（4）如图2，当 $\mathit{\Delta ECD}$的面积 $S_1=\frac{\sqrt{3}}{6}$时，求 $\mathit{AE}$的长．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ，线段 $\mathit{MN}$ 在对角线 $\mathit{BD}$ 上运动，若 $\odot O$ 的面积为 $2\pi$ ， $\mathit{MN}=1$ ，则 $\mathit{\Delta AMN}$ 周长的最小值是 $($ 　　 $)$

A．

3

B．

4

C．

5

D．

6

如图，在正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $G$在边 $\mathit{BC}$上（不与点 $B$， $C$重合），连接 $\mathit{AG}$，作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AG}$于点 $E$， $\mathit{BF}\perp \mathit{AG}$于点 $F$，设 $\frac{\mathit{BG}}{\mathit{BC}}=k$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{BF}$．

（2）连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$，设 $\angle \mathit{EDF}=\alpha$， $\angle \mathit{EBF}=\beta$．求证： $\tan \alpha =k\tan \beta$．

（3）设线段 $\mathit{AG}$与对角线 $\mathit{BD}$交于点 $H$， $\mathit{\Delta AHD}$和四边形 $\mathit{CDHG}$的面积分别为 $S_1$和 $S_2$，求 $\frac{S_2}{S_1}$的最大值．

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径， $C$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ， $D$ 为 $\mathit{AB}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{CD}$ ，且 $\angle \mathit{BCD}=\angle A$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{5}$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为 $2\sqrt{5}$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长；

（3）在（2）的条件下， $E$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{CE}$ 交线段 $\mathit{OA}$ 于点 $F$ ，若 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{CF}}=\frac{1}{2}$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $\mathit{AE}$ 的位置，使得 $\angle \mathit{DAE}+\angle \mathit{BAC}=180°$ ．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$ 时，连接 $\mathit{BE}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ ， $\mathit{BD}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长；

（2）如图2，连接 $\mathit{BE}$ ，取 $\mathit{BE}$ 的中点 $G$ ，连接 $\mathit{AG}$ ．猜想 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{CD}$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CE}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=120°$ ，当 $\mathit{BD}>\mathit{CD}$ ， $\angle \mathit{AEC}=150°$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{BD}-\mathit{DG}}{\mathit{CE}}$ 的值．

【证明体验】

（1）如图1， $\mathit{AD}$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 的角平分线， $\angle \mathit{ADC}=60°$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{AE}=\mathit{AC}$ ．求证： $\mathit{DE}$ 平分 $\angle \mathit{ADB}$ ．

【思考探究】

（2）如图2，在（1）的条件下， $F$ 为 $\mathit{AB}$ 上一点，连结 $\mathit{FC}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ．若 $\mathit{FB}=\mathit{FC}$ ， $\mathit{DG}=2$ ， $\mathit{CD}=3$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长．

【拓展延伸】

（3）如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{BAD}$ ， $\angle \mathit{BCA}=2\angle \mathit{DCA}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AC}$ 上， $\angle \mathit{EDC}=\angle \mathit{ABC}$ ．若 $\mathit{BC}=5$ ， $\mathit{CD}=2\sqrt{5}$ ， $\mathit{AD}=2\mathit{AE}$ ，求 $\mathit{AC}$ 的长．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点都是同一个正方形的顶点， $\angle \mathit{ABC}$的平分线与线段 $\mathit{AC}$交于点 $D$．若 $\mathit{\Delta ABC}$的一条边长为6，则点 $D$到直线 $\mathit{AB}$的距离为　　．

在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），连结 $\mathit{AD}$ ．

（1）如图1，若 $\angle C=60°$ ，点 $D$ 关于直线 $\mathit{AB}$ 的对称点为点 $E$ ，连结 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{DE}$ ，则 $\angle \mathit{BDE}=$ 　　；

（2）若 $\angle C=60°$ ，将线段 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60°$ 得到线段 $\mathit{AE}$ ，连结 $\mathit{BE}$ ．

①在图2中补全图形；

②探究 $\mathit{CD}$ 与 $\mathit{BE}$ 的数量关系，并证明；

（3）如图3，若 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{DE}}=k$ ，且 $\angle \mathit{ADE}=\angle C$ ．试探究 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{AC}$ 之间满足的数量关系，并证明．

在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{BAD}=\alpha$ ， $\mathit{DE}$ 平分 $\angle \mathit{ADC}$ ，交对角线 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，交射线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，将线段 $\mathit{EB}$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $\frac{1}{2}\alpha$ 得线段 $\mathit{EP}$ ．

（1）如图1，当 $\alpha =120°$ 时，连接 $\mathit{AP}$ ，请直接写出线段 $\mathit{AP}$ 和线段 $\mathit{AC}$ 的数量关系；

（2）如图2，当 $\alpha =90°$ 时，过点 $B$ 作 $\mathit{BF}\perp \mathit{EP}$ 于点，连接 $\mathit{AF}$ ，请写出线段 $\mathit{AF}$ ， $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）当 $\alpha =120°$ 时，连接 $\mathit{AP}$ ，若 $\mathit{BE}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$ ，请直接写出 $\mathit{\Delta APE}$ 与 $\mathit{\Delta CDG}$ 面积的比值．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别在边 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}$ 上， $\mathit{BE}=\mathit{CG}$ ， $\mathit{AF}$ 平分 $\angle \mathit{EAG}$ ，点 $H$ 是线段 $\mathit{AF}$ 上一动点（与点 $A$ 不重合）．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEH}\cong \mathit{\Delta AGH}$ ；

（2）当 $\mathit{AB}=12$ ， $\mathit{BE}=4$ 时．

求 $\mathit{\Delta DGH}$ 周长的最小值；

②若点 $O$ 是 $\mathit{AC}$ 的中点，是否存在直线 $\mathit{OH}$ 将 $\mathit{\Delta ACE}$ 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为 $1:3$ ．若存在，请求出 $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{AF}}$ 的值；若不存在，请说明理由．