初中数学全等三角形的判定与性质试题

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ，线段 $\mathit{MN}$ 在对角线 $\mathit{BD}$ 上运动，若 $\odot O$ 的面积为 $2\pi$ ， $\mathit{MN}=1$ ，则 $\mathit{\Delta AMN}$ 周长的最小值是 $($ 　　 $)$

A．

3

B．

4

C．

5

D．

6

如图， $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径， $C$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ， $D$ 为 $\mathit{AB}$ 延长线上一点，连接 $\mathit{CD}$ ，且 $\angle \mathit{BCD}=\angle A$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{5}$ ， $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积为 $2\sqrt{5}$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长；

（3）在（2）的条件下， $E$ 为 $\odot O$ 上一点，连接 $\mathit{CE}$ 交线段 $\mathit{OA}$ 于点 $F$ ，若 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{CF}}=\frac{1}{2}$ ，求 $\mathit{BF}$ 的长．

实践与探究

操作一：如图①，已知正方形纸片 $\mathit{ABCD}$ ，将正方形纸片沿过点 $A$ 的直线折叠，使点 $B$ 落在正方形 $\mathit{ABCD}$ 的内部，点 $B$ 的对应点为点 $M$ ，折痕为 $\mathit{AE}$ ，再将纸片沿过点 $A$ 的直线折叠，使 $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{AM}$ 重合，折痕为 $\mathit{AF}$ ，则 $\angle \mathit{EAF}=$ 　　度．

操作二：如图②，将正方形纸片沿 $\mathit{EF}$ 继续折叠，点 $C$ 的对应点为点 $N$ ．我们发现，当点 $E$ 的位置不同时，点 $N$ 的位置也不同．当点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 边的某一位置时，点 $N$ 恰好落在折痕 $\mathit{AE}$ 上，则 $\angle \mathit{AEF}=$ 　　度．

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

（1）设 $\mathit{AM}$ 与 $\mathit{NF}$ 的交点为点 $P$ ．求证： $\mathit{\Delta ANP}\cong \mathit{\Delta FNE}$ ；

（2）若 $\mathit{AB}=\sqrt{3}$ ，则线段 $\mathit{AP}$ 的长为 　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $E$ 在边 $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{\Delta BEC}$ 与 $\mathit{\Delta FEC}$ 关于直线 $\mathit{EC}$ 对称，点 $B$ 的对称点 $F$ 在边 $\mathit{AD}$ 上， $G$ 为 $\mathit{CD}$ 中点，连结 $\mathit{BG}$ 分别与 $\mathit{CE}$ ， $\mathit{CF}$ 交于 $M$ ， $N$ 两点．若 $\mathit{BM}=\mathit{BE}$ ， $\mathit{MG}=1$ ，则 $\mathit{BN}$ 的长为 　　， $\sin \angle \mathit{AFE}$ 的值为 　　．

如图①， $E$ 、 $F$ 是等腰 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 的斜边 $\mathit{BC}$ 上的两动点， $\angle \mathit{EAF}=45°$ ， $\mathit{CD}\perp \mathit{BC}$ 且 $\mathit{CD}=\mathit{BE}$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta ACD}$ ；

（2）求证： $E{F}^2=B{E}^2+C{F}^2$ ；

（3）如图②，作 $\mathit{AH}\perp \mathit{BC}$ ，垂足为 $H$ ，设 $\angle \mathit{EAH}=\alpha$ ， $\angle \mathit{FAH}=\beta$ ，不妨设 $\mathit{AB}=\sqrt{2}$ ，请利用（2）的结论证明：当 $\alpha +\beta =45°$ 时， $\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta }$ 成立．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=5\sqrt{3}$ ，点 $P$ 在线段 $\mathit{BC}$ 上运动（含 $B$ 、 $C$ 两点），连接 $\mathit{AP}$ ，以点 $A$ 为中心，将线段 $\mathit{AP}$ 逆时针旋转 $60°$ 到 $\mathit{AQ}$ ，连接 $\mathit{DQ}$ ，则线段 $\mathit{DQ}$ 的最小值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{5}{2}$

B．

$5\sqrt{2}$

C．

$\frac{5\sqrt{3}}{3}$

D．

3

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\frac{\mathit{AC}}{\mathit{BC}}=m$， $D$是边 $\mathit{BC}$上一点，将 $\mathit{\Delta ABD}$沿 $\mathit{AD}$折叠得到 $\mathit{\Delta AED}$，连接 $\mathit{BE}$．

（1）特例发现

如图1，当 $m=1$， $\mathit{AE}$落在直线 $\mathit{AC}$上时．

①求证： $\angle \mathit{DAC}=\angle \mathit{EBC}$；

②填空： $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{CE}}$的值为 　　；

（2）类比探究

如图2，当 $m\ne 1$， $\mathit{AE}$与边 $\mathit{BC}$相交时，在 $\mathit{AD}$上取一点 $G$，使 $\angle \mathit{ACG}=\angle \mathit{BCE}$， $\mathit{CG}$交 $\mathit{AE}$于点 $H$．探究 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{CE}}$的值（用含 $m$的式子表示），并写出探究过程；

（3）拓展运用

在（2）的条件下，当 $m=\frac{\sqrt{2}}{2}$， $D$是 $\mathit{BC}$的中点时，若 $\mathit{EB}\cdot \mathit{EH}=6$，求 $\mathit{CG}$的长．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle \mathit{ACB}=90°$ ，分别过点 $B$ ， $C$ 作 $\angle \mathit{BAC}$ 平分线的垂线，垂足分别为点 $D$ ， $E$ ， $\mathit{BC}$ 的中点是 $M$ ，连接 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{MD}$ ， $\mathit{ME}$ ．则下列结论错误的是 $($ 　　 $)$

A．

$\mathit{CD}=2\mathit{ME}$

B．

$\mathit{ME}//\mathit{AB}$

C．

$\mathit{BD}=\mathit{CD}$

D．

$\mathit{ME}=\mathit{MD}$

已知等边三角形 $\mathit{ABC}$，过 $A$点作 $\mathit{AC}$的垂线 $l$，点 $P$为 $l$上一动点（不与点 $A$重合），连接 $\mathit{CP}$，把线段 $\mathit{CP}$绕点 $C$逆时针方向旋转 $60°$得到 $\mathit{CQ}$，连 $\mathit{QB}$．

（1）如图1，直接写出线段 $\mathit{AP}$与 $\mathit{BQ}$的数量关系；

（2）如图2，当点 $P$、 $B$在 $\mathit{AC}$同侧且 $\mathit{AP}=\mathit{AC}$时，求证：直线 $\mathit{PB}$垂直平分线段 $\mathit{CQ}$；

（3）如图3，若等边三角形 $\mathit{ABC}$的边长为4，点 $P$、 $B$分别位于直线 $\mathit{AC}$异侧，且 $\mathit{\Delta APQ}$的面积等于 $\frac{\sqrt{3}}{4}$，求线段 $\mathit{AP}$的长度．

如图，正方形纸片 $\mathit{ABCD}$ 的边长为12，点 $F$ 是 $\mathit{AD}$ 上一点，将 $\mathit{\Delta CDF}$ 沿 $\mathit{CF}$ 折叠，点 $D$ 落在点 $G$ 处，连接 $\mathit{DG}$ 并延长交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ．若 $\mathit{AE}=5$ ，则 $\mathit{GE}$ 的长为 　　．

在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ， $D$ 是边 $\mathit{BC}$ 上一动点，连接 $\mathit{AD}$ ，将 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 逆时针旋转至 $\mathit{AE}$ 的位置，使得 $\angle \mathit{DAE}+\angle \mathit{BAC}=180°$ ．

（1）如图1，当 $\angle \mathit{BAC}=90°$ 时，连接 $\mathit{BE}$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $F$ ．若 $\mathit{BE}$ 平分 $\angle \mathit{ABC}$ ， $\mathit{BD}=2$ ，求 $\mathit{AF}$ 的长；

（2）如图2，连接 $\mathit{BE}$ ，取 $\mathit{BE}$ 的中点 $G$ ，连接 $\mathit{AG}$ ．猜想 $\mathit{AG}$ 与 $\mathit{CD}$ 存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接 $\mathit{DG}$ ， $\mathit{CE}$ ．若 $\angle \mathit{BAC}=120°$ ，当 $\mathit{BD}>\mathit{CD}$ ， $\angle \mathit{AEC}=150°$ 时，请直接写出 $\frac{\mathit{BD}-\mathit{DG}}{\mathit{CE}}$ 的值．

【证明体验】

（1）如图1， $\mathit{AD}$ 为 $\mathit{\Delta ABC}$ 的角平分线， $\angle \mathit{ADC}=60°$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AB}$ 上， $\mathit{AE}=\mathit{AC}$ ．求证： $\mathit{DE}$ 平分 $\angle \mathit{ADB}$ ．

【思考探究】

（2）如图2，在（1）的条件下， $F$ 为 $\mathit{AB}$ 上一点，连结 $\mathit{FC}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $G$ ．若 $\mathit{FB}=\mathit{FC}$ ， $\mathit{DG}=2$ ， $\mathit{CD}=3$ ，求 $\mathit{BD}$ 的长．

【拓展延伸】

（3）如图3，在四边形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 平分 $\angle \mathit{BAD}$ ， $\angle \mathit{BCA}=2\angle \mathit{DCA}$ ，点 $E$ 在 $\mathit{AC}$ 上， $\angle \mathit{EDC}=\angle \mathit{ABC}$ ．若 $\mathit{BC}=5$ ， $\mathit{CD}=2\sqrt{5}$ ， $\mathit{AD}=2\mathit{AE}$ ，求 $\mathit{AC}$ 的长．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$的三个顶点都是同一个正方形的顶点， $\angle \mathit{ABC}$的平分线与线段 $\mathit{AC}$交于点 $D$．若 $\mathit{\Delta ABC}$的一条边长为6，则点 $D$到直线 $\mathit{AB}$的距离为　　．

在等腰 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 是 $\mathit{BC}$ 边上一点（不与点 $B$ 、 $C$ 重合），连结 $\mathit{AD}$ ．

（1）如图1，若 $\angle C=60°$ ，点 $D$ 关于直线 $\mathit{AB}$ 的对称点为点 $E$ ，连结 $\mathit{AE}$ ， $\mathit{DE}$ ，则 $\angle \mathit{BDE}=$ 　　；

（2）若 $\angle C=60°$ ，将线段 $\mathit{AD}$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $60°$ 得到线段 $\mathit{AE}$ ，连结 $\mathit{BE}$ ．

①在图2中补全图形；

②探究 $\mathit{CD}$ 与 $\mathit{BE}$ 的数量关系，并证明；

（3）如图3，若 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{\mathit{AD}}{\mathit{DE}}=k$ ，且 $\angle \mathit{ADE}=\angle C$ ．试探究 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{AC}$ 之间满足的数量关系，并证明．

在 $▱\mathit{ABCD}$ 中， $\angle \mathit{BAD}=\alpha$ ， $\mathit{DE}$ 平分 $\angle \mathit{ADC}$ ，交对角线 $\mathit{AC}$ 于点 $G$ ，交射线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，将线段 $\mathit{EB}$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $\frac{1}{2}\alpha$ 得线段 $\mathit{EP}$ ．

（1）如图1，当 $\alpha =120°$ 时，连接 $\mathit{AP}$ ，请直接写出线段 $\mathit{AP}$ 和线段 $\mathit{AC}$ 的数量关系；

（2）如图2，当 $\alpha =90°$ 时，过点 $B$ 作 $\mathit{BF}\perp \mathit{EP}$ 于点，连接 $\mathit{AF}$ ，请写出线段 $\mathit{AF}$ ， $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AD}$ 之间的数量关系，并说明理由；

（3）当 $\alpha =120°$ 时，连接 $\mathit{AP}$ ，若 $\mathit{BE}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$ ，请直接写出 $\mathit{\Delta APE}$ 与 $\mathit{\Delta CDG}$ 面积的比值．