如图,在平面直角坐标系中,四边形 的边 在 轴上,点 在 轴的负半轴上,直线 ,且 , ,将经过 、 两点的直线 向右平移,平移后的直线与 轴交于点 ,与直线 交于点 ,设 的长为 .
(1)四边形 的面积为 ;
(2)设四边形 被直线 扫过的面积(阴影部分)为 ,请直接写出 关于 的函数解析式;
(3)当 时,直线 上有一动点 ,作 直线 于点 ,交 轴于点 ,将 沿直线 折叠得到 ,探究:是否存在点 ,使点 恰好落在坐标轴上?若存在,请求出点 的坐标;若不存在,请说明理由.
如图,在矩形 中, , ,点 在线段 上运动(含 、 两点),连接 ,以点 为中心,将线段 逆时针旋转 到 ,连接 ,则线段 的最小值为
A. |
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B. |
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C. |
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D. |
3 |
如图,平面直角坐标系中, 为原点,点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上. 的两条外角平分线交于点 , 在反比例函数 的图象上. 的延长线交 轴于点 , 的延长线交 轴于点 ,连接 .
(1)求 的度数及点 的坐标;
(2)求 的面积;
(3) 的面积是否存在最大值?若存在,求出最大面积;若不存在,请说明理由.
在 中, , , 是边 上一点,将 沿 折叠得到 ,连接 .
(1)特例发现
如图1,当 , 落在直线 上时.
①求证: ;
②填空: 的值为 ;
(2)类比探究
如图2,当 , 与边 相交时,在 上取一点 ,使 , 交 于点 .探究 的值(用含 的式子表示),并写出探究过程;
(3)拓展运用
在(2)的条件下,当 , 是 的中点时,若 ,求 的长.
问题情境:如图1,在正方形 中, 为边 上一点(不与点 、 重合),垂直于 的一条直线 分别交 、 、 于点 、 、 .判断线段 、 、 之间的数量关系,并说明理由.
问题探究:在“问题情境”的基础上.
(1)如图2,若垂足 恰好为 的中点,连接 ,交 于点 ,连接 ,并延长交边 于点 .求 的度数;
(2)如图3,当垂足 在正方形 的对角线 上时,连接 ,将 沿着 翻折,点 落在点 处,若正方形 的边长为4, 的中点为 ,求 的最小值.
问题拓展:如图4,在边长为4的正方形 中,点 、 分别为边 、 上的点,将正方形 沿着 翻折,使得 的对应边 恰好经过点 , 交 于点 .分别过点 、 作 , ,垂足分别为 、 .若 ,请直接写出 的长.
在 中, ,分别过点 , 作 平分线的垂线,垂足分别为点 , , 的中点是 ,连接 , , .则下列结论错误的是
A. |
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B. |
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C. |
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D. |
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已知:在平面直角坐标系中,点 为坐标原点,点 在 轴的负半轴上,直线 与 轴、 轴分别交于 、 两点,四边形 为菱形.
(1)如图1,求点 的坐标;
(2)如图2,连接 ,点 为 内一点,连接 、 , 与 交于点 ,且 ,点 在线段 上,点 在线段 上,且 ,连接 、 ,若 ,求 的值;
(3)如图3,在(2)的条件下,当 时,求点 的坐标.
已知等边三角形 ,过 点作 的垂线 ,点 为 上一动点(不与点 重合),连接 ,把线段 绕点 逆时针方向旋转 得到 ,连 .
(1)如图1,直接写出线段 与 的数量关系;
(2)如图2,当点 、 在 同侧且 时,求证:直线 垂直平分线段 ;
(3)如图3,若等边三角形 的边长为4,点 、 分别位于直线 异侧,且 的面积等于 ,求线段 的长度.
如图,正方形纸片 的边长为12,点 是 上一点,将 沿 折叠,点 落在点 处,连接 并延长交 于点 .若 ,则 的长为 .
在 中, , 是边 上一动点,连接 ,将 绕点 逆时针旋转至 的位置,使得 .
(1)如图1,当 时,连接 ,交 于点 .若 平分 , ,求 的长;
(2)如图2,连接 ,取 的中点 ,连接 .猜想 与 存在的数量关系,并证明你的猜想;
(3)如图3,在(2)的条件下,连接 , .若 ,当 , 时,请直接写出 的值.
【证明体验】
(1)如图1, 为 的角平分线, ,点 在 上, .求证: 平分 .
【思考探究】
(2)如图2,在(1)的条件下, 为 上一点,连结 交 于点 .若 , , ,求 的长.
【拓展延伸】
(3)如图3,在四边形 中,对角线 平分 , ,点 在 上, .若 , , ,求 的长.
已知 的三个顶点都是同一个正方形的顶点, 的平分线与线段 交于点 .若 的一条边长为6,则点 到直线 的距离为 .
在等腰 中, ,点 是 边上一点(不与点 、 重合),连结 .
(1)如图1,若 ,点 关于直线 的对称点为点 ,连结 , ,则 ;
(2)若 ,将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ,连结 .
①在图2中补全图形;
②探究 与 的数量关系,并证明;
(3)如图3,若 ,且 .试探究 、 、 之间满足的数量关系,并证明.
在 中, , 平分 ,交对角线 于点 ,交射线 于点 ,将线段 绕点 顺时针旋转 得线段 .
(1)如图1,当 时,连接 ,请直接写出线段 和线段 的数量关系;
(2)如图2,当 时,过点 作 于点,连接 ,请写出线段 , , 之间的数量关系,并说明理由;
(3)当 时,连接 ,若 ,请直接写出 与 面积的比值.
试题篮
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