初中数学等腰三角形的判定与性质解答题

如图， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，点 $C$ ，点 $D$ 在 $\odot O$ 上， $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}=\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$ ， $\mathit{AD}$ 与 $\mathit{BC}$ 相交于点 $E$ ， $\mathit{AF}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$ ，与 $\mathit{BC}$ 延长线相交于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{AF}$ ．

（2）若 $\mathit{EF}=12$ ， $\sin \angle \mathit{ABF}=\frac{3}{5}$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$与边 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$分别交于 $D$， $E$两点，过点 $D$作 $\mathit{DH}\perp \mathit{AC}$于点 $H$．

（1）判断 $\mathit{DH}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）求证： $H$为 $\mathit{CE}$的中点；

（3）若 $\mathit{BC}=10$， $\cos C=\frac{\sqrt{5}}{5}$，求 $\mathit{AE}$的长．

初步尝试

（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则与的数量关系为　   　；

思考说理

（2）如图②，在三角形纸片中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，求的值；

拓展延伸

（3）如图③，在三角形纸片中，，，，将沿过顶点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为．

①求线段的长；

②若点是边的中点，点为线段上的一个动点，将沿折叠得到△，点的对应点为点，与交于点，求的取值范围．

如图，在中，，以为直径的交于点，过点作的切线交于点，连接．

（1）求证：是等腰三角形；

（2）求证：．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle C=90°$ ，点 $O$ 在 $\mathit{AC}$ 上，以 $\mathit{OA}$ 为半径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线 $\mathit{DF}$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{BF}=\mathit{DF}$ ；

（2）若 $\mathit{AC}=4$ ， $\mathit{BC}=3$ ， $\mathit{CF}=1$ ，求半圆 $O$ 的半径长．

数学课上，张老师出示了问题：如图1， $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$是四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线，若 $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ACD}=\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{ADB}=60°$，则线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{AC}$三者之间有何等量关系？

经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长 $\mathit{CB}$到 $E$，使 $\mathit{BE}=\mathit{CD}$，连接 $\mathit{AE}$，证得 $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta ADC}$，从而容易证明 $\mathit{\Delta ACE}$是等边三角形，故 $\mathit{AC}=\mathit{CE}$，所以 $\mathit{AC}=\mathit{BC}+\mathit{CD}$．

小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕着点 $A$逆时针旋转 $60°$，使 $\mathit{AB}$与 $\mathit{AD}$重合，从而容易证明 $\mathit{\Delta ACF}$是等边三角形，故 $\mathit{AC}=\mathit{CF}$，所以 $\mathit{AC}=\mathit{BC}+\mathit{CD}$．

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图4，如果把“ $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ACD}=\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{ADB}=60°$”改为“ $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ACD}=\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{ADB}=45°$”，其它条件不变，那么线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{AC}$三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．

（2）小华提出：如图5，如果把“ $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ACD}=\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{ADB}=60°$”改为“ $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ACD}=\angle \mathit{ABD}=\angle \mathit{ADB}=\alpha$”，其它条件不变，那么线段 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{AC}$三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．

如图1， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径，直线 $\mathit{AM}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $A$ ，直线 $\mathit{BN}$ 与 $\odot O$ 相切于点 $B$ ，点 $C$ （异于点 $A)$ 在 $\mathit{AM}$ 上，点 $D$ 在 $\odot O$ 上，且 $\mathit{CD}=\mathit{CA}$ ，延长 $\mathit{CD}$ 与 $\mathit{BN}$ 相交于点 $E$ ，连接 $\mathit{AD}$ 并延长交 $\mathit{BN}$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{CE}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求证： $\mathit{BE}=\mathit{EF}$ ；

（3）如图2，连接 $\mathit{EO}$ 并延长与 $\odot O$ 分别相交于点 $G$ 、 $H$ ，连接 $\mathit{BH}$ ．若 $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{AC}=4$ ，求 $\tan \angle \mathit{BHE}$ ．

如图，已知 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$， $\mathit{BD}$和 $\mathit{CE}$相交于点 $O$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABD}\cong \mathit{\Delta ACE}$；

（2）判断 $\mathit{\Delta BOC}$的形状，并说明理由．

已知抛物线经过点和点，与轴交于另一点，顶点为．

（1）求抛物线的解析式，并写出顶点的坐标；

（2）如图，点，分别在线段，上（点不与点，重合），且，，直接写出线段的长．

与相切于点，直线与相离，于点，且，与交于点，的延长线交直线于点．

（1）求证：；

（2）若的半径为3，求线段的长；

（3）若在上存在点，使是以为底边的等腰三角形，求的半径的取值范围．

如图，在中，是边上的高，是边上的中线，且．求证：

（1）点在的垂直平分线上；

（2）．

如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形的顶点在格点上，点是边与网格线的交点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留连线的痕迹，不要求说明理由．

（1）如图1，过点画线段，使，且．

（2）如图1，在边上画一点，使．

（3）如图2，过点画线段，使，且．

如图1，四边形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\mathit{OA}=\mathit{OC}$ ， $\mathit{OB}=\mathit{OD}+\mathit{CD}$ ．

（1）过点 $A$ 作 $\mathit{AE}//\mathit{DC}$ 交 $\mathit{BD}$ 于点 $E$ ，求证： $\mathit{AE}=\mathit{BE}$ ；

（2）如图2，将 $\mathit{\Delta ABD}$ 沿 $\mathit{AB}$ 翻折得到 $\mathit{\Delta AB}{D}^{\text{'}}$ ．

①求证： $B{D}^{\text{'}}//\mathit{CD}$ ；

②若 $A{D}^{\text{'}}//\mathit{BC}$ ，求证： $C{D}^2=2\mathit{OD}·\mathit{BD}$ ．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$上， $\mathit{BD}=\mathit{CE}$， $\mathit{BE}$、 $\mathit{CD}$相交于点 $O$．

（1）求证： $\mathit{\Delta DBC}\cong \mathit{\Delta ECB}$；

（2）求证： $\mathit{OB}=\mathit{OC}$．

已知：如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形，延长 $\mathit{BA}$至点 $E$，使 $\mathit{AE}+\mathit{CD}=\mathit{AD}$．连接 $\mathit{CE}$，求证： $\mathit{CE}$平分 $\angle \mathit{BCD}$．