初中数学勾股定理解答题

如图， $\mathit{\Delta ABC}$在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为 $A(-1,5)$， $B(-4,2)$， $C(-2,2)$．

（1）平移 $\mathit{\Delta ABC}$，使点 $B$移动到点 $B_1(1,1)$，画出平移后的△ $A_1{B}_1{C}_1$，并写出点 $A_1$， $C_1$的坐标．

（2）画出 $\mathit{\Delta ABC}$关于原点 $O$对称的△ $A_2{B}_2{C}_2$．

（3）线段 $A{A}_1$的长度为　　．

如图，在正方形中，点是上的一点，点是延长线上的一点，且，连结、、．

（1）求证：；

（2）若，请求出的长．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别在边 $\mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}$ 上， $\mathit{BE}=\mathit{CG}$ ， $\mathit{AF}$ 平分 $\angle \mathit{EAG}$ ，点 $H$ 是线段 $\mathit{AF}$ 上一动点（与点 $A$ 不重合）．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEH}\cong \mathit{\Delta AGH}$ ；

（2）当 $\mathit{AB}=12$ ， $\mathit{BE}=4$ 时．

求 $\mathit{\Delta DGH}$ 周长的最小值；

②若点 $O$ 是 $\mathit{AC}$ 的中点，是否存在直线 $\mathit{OH}$ 将 $\mathit{\Delta ACE}$ 分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为 $1:3$ ．若存在，请求出 $\frac{\mathit{AH}}{\mathit{AF}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，将等腰直角三角形纸片 $\mathit{ABC}$对折，折痕为 $\mathit{CD}$．展平后，再将点 $B$折叠在边 $\mathit{AC}$上（不与 $A$、 $C$重合），折痕为 $\mathit{EF}$，点 $B$在 $\mathit{AC}$上的对应点为 $M$，设 $\mathit{CD}$与 $\mathit{EM}$交于点 $P$，连接 $\mathit{PF}$．已知 $\mathit{BC}=4$．

（1）若 $M$为 $\mathit{AC}$的中点，求 $\mathit{CF}$的长；

（2）随着点 $M$在边 $\mathit{AC}$上取不同的位置，

① $\mathit{\Delta PFM}$的形状是否发生变化？请说明理由；

②求 $\mathit{\Delta PFM}$的周长的取值范围．

已知 $\mathit{\Delta AOB}$ 和 $\mathit{\Delta MON}$ 都是等腰直角三角形 $(\frac{\sqrt{2}}{2}\mathit{OA}<\mathit{OM}<\mathit{OA})$ ， $\angle \mathit{AOB}=\angle \mathit{MON}=90°$ ．

（1）如图1，连接 $\mathit{AM}$ ， $\mathit{BN}$ ，求证： $\mathit{AM}=\mathit{BN}$ ；

（2）将 $\mathit{\Delta MON}$ 绕点 $O$ 顺时针旋转．

①如图2，当点 $M$ 恰好在 $\mathit{AB}$ 边上时，求证： $A{M}^2+B{M}^2=2O{M}^2$ ；

②当点 $A$ ， $M$ ， $N$ 在同一条直线上时，若 $\mathit{OA}=4$ ， $\mathit{OM}=3$ ，请直接写出线段 $\mathit{AM}$ 的长．

如图，直角 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle A$为直角， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=8$．点 $P$， $Q$， $R$分别在 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CA}$边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点 $P$由点 $A$出发以每秒3个单位的速度向点 $B$运动，点 $Q$由点 $B$出发以每秒5个单位的速度向点 $C$运动，点 $R$由点 $C$出发以每秒4个单位的速度向点 $A$运动，在运动过程中：

（1）求证： $\mathit{\Delta APR}$， $\mathit{\Delta BPQ}$， $\mathit{\Delta CQR}$的面积相等；

（2）求 $\mathit{\Delta PQR}$面积的最小值；

（3）用 $t$（秒 $\left)\right(0⩽t⩽2)$表示运动时间，是否存在 $t$，使 $\angle \mathit{PQR}=90°$？若存在，请直接写出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

抛物线与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点，点是该抛物线的顶点．

（1）如图1，连接，求线段的长；

（2）如图2，点是直线上方抛物线上一点，轴于点，与线段交于点；将线段沿轴左右平移，线段的对应线段是，当的值最大时，求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标；

（3）如图3，点是线段的中点，连接，将沿直线翻折至△的位置，再将△绕点旋转一周，在旋转过程中，点，的对应点分别是点，，直线分别与直线，轴交于点，．那么，在△的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段的长；若不存在，请说明理由．

如图，在四边形 ABCD中，∠ B＝60°，∠ D＝30°， AB＝ BC．

（1）求∠ A+∠ C的度数；

（2）连接 BD，探究 AD， BD， CD三者之间的数量关系，并说明理由；

（3）若 AB＝1，点 E在四边形 ABCD内部运动，且满足 AE ²＝ BE ²+ CE ²，求点 E运动路径的长度．

在扇形 $\mathit{AOB}$ 中，半径 $\mathit{OA}=6$ ，点 $P$ 在 $\mathit{OA}$ 上，连结 $\mathit{PB}$ ，将 $\mathit{\Delta OBP}$ 沿 $\mathit{PB}$ 折叠得到△ $O\text{'}\mathit{BP}$ ．

（1）如图1，若 $\angle O=75°$ ，且 $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 所在的圆相切于点 $B$ ．

①求 $\angle \mathit{APO}\text{'}$ 的度数．

②求 $\mathit{AP}$ 的长．

（2）如图2， $\mathit{BO}\text{'}$ 与 $\widehat{\mathit{AB}}$ 相交于点 $D$ ，若点 $D$ 为 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的中点，且 $\mathit{PD}//\mathit{OB}$ ，求 $\widehat{\mathit{AB}}$ 的长．

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AB}$是直径， $\mathit{CD}$是弦， $\mathit{AB}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $P$，过点 $D$的 $\odot O$的切线与 $\mathit{AB}$延长线交于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）求证： $\mathit{CE}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$半径为3， $\mathit{CE}=4$，求 $\sin \angle \mathit{DEC}$．

如图，已知线段 $\mathit{AB}=2$， $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$于点 $M$，且 $\mathit{AM}=\mathit{BM}$， $P$是射线 $\mathit{MN}$上一动点， $E$， $D$分别是 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$的中点，过点 $A$， $M$， $D$的圆与 $\mathit{BP}$的另一交点 $C$（点 $C$在线段 $\mathit{BD}$上），连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{DE}$．

（1）当 $\angle \mathit{APB}=28°$时，求 $\angle B$和 $\stackrel{̂}{\mathit{CM}}$的度数；

（2）求证： $\mathit{AC}=\mathit{AB}$．

（3）在点 $P$的运动过程中

①当 $\mathit{MP}=4$时，取四边形 $\mathit{ACDE}$一边的两端点和线段 $\mathit{MP}$上一点 $Q$，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且 $Q$为锐角顶点，求所有满足条件的 $\mathit{MQ}$的值；

②记 $\mathit{AP}$与圆的另一个交点为 $F$，将点 $F$绕点 $D$旋转 $90°$得到点 $G$，当点 $G$恰好落在 $\mathit{MN}$上时，连接 $\mathit{AG}$， $\mathit{CG}$， $\mathit{DG}$， $\mathit{EG}$，直接写出 $\mathit{\Delta ACG}$和 $\mathit{\Delta DEG}$的面积之比．

（1）【操作发现】

如图1，将△ ABC绕点 A顺时针旋转60°，得到△ ADE，连接 BD，则∠ ABD＝ 　　度．

（2）【类比探究】

如图2，在等边三角形 ABC内任取一点 P，连接 PA， PB， PC，求证：以 PA， PB， PC的长为三边必能组成三角形．

（3）【解决问题】

如图3，在边长为 $\sqrt{7}$ 的等边三角形 ABC内有一点 P，∠ APC＝90°，∠ BPC＝120°，求△ APC的面积．

（4）【拓展应用】

如图4是 A， B， C三个村子位置的平面图，经测量 AC＝4， BC＝5，∠ ACB＝30°， P为△ ABC内的一个动点，连接 PA， PB， PC．求 PA+ PB+ PC的最小值．

问题提出

（1）如图①，在中，，，则的外接圆半径的值为　　．

问题探究

（2）如图②，的半径为13，弦，是的中点，是上一动点，求的最大值．

问题解决

（3）如图③所示，、、是某新区的三条规划路，其中，，，所对的圆心角为，新区管委会想在路边建物资总站点，在，路边分别建物资分站点、，也就是，分别在、线段和上选取点、、．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路、和．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段、、之和最短，试求的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）

如图1，已知 $▱\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}//x$轴， $\mathit{AB}=6$，点 $A$的坐标为 $(1,-4)$，点 $D$的坐标为 $(-3,4)$，点 $B$在第四象限，点 $P$是 $▱\mathit{ABCD}$边上的一个动点．

（1）若点 $P$在边 $\mathit{BC}$上， $\mathit{PD}=\mathit{CD}$，求点 $P$的坐标．

（2）若点 $P$在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$上，点 $P$关于坐标轴对称的点 $Q$落在直线 $y=x-1$上，求点 $P$的坐标．

（3）若点 $P$在边 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$上，点 $G$是 $\mathit{AD}$与 $y$轴的交点，如图2，过点 $P$作 $y$轴的平行线 $\mathit{PM}$，过点 $G$作 $x$轴的平行线 $\mathit{GM}$，它们相交于点 $M$，将 $\mathit{\Delta PGM}$沿直线 $\mathit{PG}$翻折，当点 $M$的对应点落在坐标轴上时，求点 $P$的坐标．（直接写出答案）

如图，在平面直角坐标系中， 为原点，四边形 是矩形，点 ， 的坐标分别是 和 $C(2\sqrt{3},0)$ ，点 是对角线 上一动点（不与 ， 重合），连结 ，作 ，交 轴于点 ，以线段 ， 为邻边作矩形 ．

（1）填空：点 的坐标为 　　；

（2）是否存在这样的点 ，使得 是等腰三角形？若存在，请求出 的长度；若不存在，请说明理由；

（3）①求证： $\frac{\mathit{DE}}{\mathit{DB}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ；

②设 ，矩形 的面积为 ，求 关于 的函数关系式（可利用①的结论），并求出 的最小值．