初中数学计算题

先化简，再求值： $(1-\frac{1}{x+2})÷\frac{x^2+2x+1}{2x+4}$，其中 $x=\sqrt{2}-1$．

先化简，再求值： $(\frac{8}{a+3}+a-3)÷\frac{a^2+2a+1}{a+3}$，其中 $a$为不等式组 $\left\{\begin{array}{c}a-1<2\\ 2a+\frac{1}{2}>3\end{array}\right.$的整数解．

先化简，再求值： $(1-\frac{a+b}{a-b})÷\frac{b}{a^2-b^2}$，其中 $a=\sqrt{3}-2$， $b=5-\sqrt{3}$．

在综合与实践活动中，活动小组对学校400米的跑道进行规划设计，跑道由两段直道和两端是半圆弧的跑道组成．其中400米跑道最内圈为400米，两端半圆弧的半径为36米． $(\pi$ 取 $3.14)$ ．

（1）求400米跑道中一段直道的长度；

（2）在活动中发现跑道周长（单位：米）随跑道宽度（距最内圈的距离，单位：米）的变化而变化．请完成下表：

跑道宽度 $/$ 米	0	1	2	3	4	5	$\dots$
跑道周长 $/$ 米	400						$\dots$

若设 $x$ 表示跑道宽度（单位：米）， $y$ 表示该跑道周长（单位：米），试写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式：

（3）将446米的跑道周长作为400米跑道场地的最外沿，那么它与最内圈（跑道周长400米）形成的区域最多能铺设道宽为1.2米的跑道多少条？

将直角三角板 $\mathit{ABC}$ 按如图1放置，直角顶点 $C$ 与坐标原点重合，直角边 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BC}$ 分别与 $x$ 轴和 $y$ 轴重合，其中 $\angle \mathit{ABC}=30°$ ．将此三角板沿 $y$ 轴向下平移，当点 $B$ 平移到原点 $O$ 时运动停止．设平移的距离为 $m$ ，平移过程中三角板落在第一象限部分的面积为 $s$ ， $s$ 关于 $m$ 的函数图象（如图2所示）与 $m$ 轴相交于点 $P(\sqrt{3}$ ， $0)$ ，与 $s$ 轴相交于点 $Q$ ．

（1）试确定三角板 $\mathit{ABC}$ 的面积；

（2）求平移前 $\mathit{AB}$ 边所在直线的解析式；

（3）求 $s$ 关于 $m$ 的函数关系式，并写出 $Q$ 点的坐标．

为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ ， $H$ ，其中" $\surd$ "表示投放正确，" $\times$ "表示投放错误，统计情况如下表．

学生 垃圾类别	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$	$G$	$H$
厨余垃圾	$\surd$	$\surd$	$\surd$	$\surd$	$\surd$	$\surd$	$\surd$	$\surd$
可回收垃圾	$\surd$	$\times$	$\surd$	$\times$	$\times$	$\surd$	$\surd$	$\surd$
有害垃圾	$\times$	$\surd$	$\times$	$\surd$	$\surd$	$\times$	$\times$	$\surd$
其他垃圾	$\times$	$\surd$	$\surd$	$\times$	$\times$	$\surd$	$\surd$	$\surd$

（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；

（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里"有害垃圾"投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．

学校在"我和我的祖国"快闪拍摄活动中，为学生化妆．其中5名男生和3名女生共需化妆费190元；3名男生的化妆费用与2名女生的化妆费用相同．

（1）求每位男生和女生的化妆费分别为多少元；

（2）如果学校提供的化妆总费用为2000元，根据活动需要至少应有42名女生化妆，那么男生最多有多少人化妆．

解不等式组： $\left\{\begin{array}{c}\frac{x}{2}-\frac{x-1}{3}⩾1\\ \frac{x-3}{2}<x+2\end{array}\right.$ ．

解方程： $\frac{2}{x+2}+1=\frac{x}{x-1}$ ．

如图：一次函数 $y=-\frac{3}{4}x+3$ 的图象与坐标轴交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $P$ 是函数 $y=-\frac{3}{4}x+3(0<x<4)$ 图象上任意一点，过点 $P$ 作 $\mathit{PM}\perp y$ 轴于点 $M$ ，连接 $\mathit{OP}$ ．

（1）当 $\mathit{AP}$ 为何值时， $\mathit{\Delta OPM}$ 的面积最大？并求出最大值；

（2）当 $\mathit{\Delta BOP}$ 为等腰三角形时，试确定点 $P$ 的坐标．

空间任意选定一点 $O$ ，以点 $O$ 为端点，作三条互相垂直的射线 $\mathit{ox}$ 、 $\mathit{oy}$ 、 $\mathit{oz}$ ．这三条互相垂直的射线分别称作 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴，统称为坐标轴，它们的方向分别为 $\mathit{ox}$ （水平向前）、 $\mathit{oy}$ （水平向右）、 $\mathit{oz}$ （竖直向上）方向，这样的坐标系称为空间直角坐标系．

将相邻三个面的面积记为 $S_1$ 、 $S_2$ 、 $S_3$ ，且 $S_1<S_2<S_3$ 的小长方体称为单位长方体，现将若干个单位长方体在空间直角坐标系内进行码放，要求码放时将单位长方体 $S_1$ 所在的面与 $x$ 轴垂直， $S_2$ 所在的面与 $y$ 轴垂直， $S_3$ 所在的面与 $z$ 轴垂直，如图1所示．

若将 $x$ 轴方向表示的量称为几何体码放的排数， $y$ 轴方向表示的量称为几何体码放的列数， $z$ 轴方向表示的量称为几何体码放的层数；如图2是由若干个单位长方体在空间直角坐标内码放的一个几何体，其中这个几何体共码放了1排2列6层，用有序数组记作 $(1$ ，2， $6)$ ，如图3的几何体码放了2排3列4层，用有序数组记作 $(2$ ，3， $4)$ ．这样我们就可用每一个有序数组 $(x$ ， $y$ ， $z)$ 表示一种几何体的码放方式．

（1）如图4是由若干个单位长方体码放的一个几何体的三视图，则这种码放方式的有序数组为 　         ，组成这个几何体的单位长方体的个数为 　        　个；

（2）对有序数组性质的理解，下列说法正确的是 　        　；（只填序号）

①每一个有序数组 $(x$ ， $y$ ， $z)$ 表示一种几何体的码放方式．

②有序数组中 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 的乘积就表示几何体中单位长方体的个数．

③有序数组不同，所表示几何体的单位长方体个数不同．

④不同的有序数组所表示的几何体的体积不同．

⑤有序数组中 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 每两个乘积的2倍可分别确定几何体表面上 $S_1$ 、 $S_2$ 、 $S_3$ 的个数．

（3）为了进一步探究有序数组 $(x$ ， $y$ ， $z)$ 的几何体的表面积公式 $S_{(x,y,z)}$ ，某同学针对若干个单位长方体进行码放，制作了下列表格：

几何体 有序数组	单位长方体的个数	表面上面积为 $S_1$ 的个数	表面上面积为 $S_2$ 的个数	表面上面积为 $S_3$ 的个数	表面积
$(1$ ，1， $1)$	1	2	2	2	$2S_1+2S_2+2S_3$
$(1$ ，2， $1)$	2	4	2	4	$4S_1+2S_2+4S_3$
$(3$ ，1， $1)$	3	2	6	6	$2S_1+6S_2+6S_3$
$(2$ ，1， $2)$	4	4	8	4	$4S_1+8S_2+4S_3$
$(1$ ，5， $1)$	5	10	2	10	$10S_1+2S_2+10S_3$
$(1$ ，2， $3)$	6	12	6	4	$12S_1+6S_2+4S_3$
$(1$ ，1， $7)$	7	14	14	2	$14S_1+14S_2+2S_3$
$(2$ ，2， $2)$	8	8	8	8	$8S_1+8S_2+8S_3$
$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$	$\dots$

根据以上规律，请写出有序数组 $(x$ ， $y$ ， $z)$ 的几何体表面积计算公式 $S_{(x,y,z)}$ ；（用 $x$ 、 $y$ 、 $z$ 、 $S_1$ 、 $S_2$ 、 $S_3$ 表示）

（4）当 $S_1=2$ ， $S_2=3$ ， $S_3=4$ 时，对由12个单位长方体码放的几何体进行打包，为了节约外包装材料，对12个单位长方体码放的几何体表面积最小的规律进行探究，根据探究的结果请写出使几何体表面积最小的有序数组，并用几何体表面积公式求出这个最小面积．（缝隙不计）

抛物线 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $A(3\sqrt{3}$ ， $0)$ 和点 $B(0,3)$ ，且这个抛物线的对称轴为直线 $l$ ，顶点为 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BC}$ ，求 $\mathit{\Delta ABC}$ 的面积．

已知： $\mathit{AB}$ 为 $\odot O$ 的直径，延长 $\mathit{AB}$ 到点 $P$ ，过点 $P$ 作圆 $O$ 的切线，切点为 $C$ ，连接 $\mathit{AC}$ ，且 $\mathit{AC}=\mathit{CP}$ ．

（1）求 $\angle P$ 的度数；

（2）若点 $D$ 是弧 $\mathit{AB}$ 的中点，连接 $\mathit{CD}$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，且 $\mathit{DE}·\mathit{DC}=20$ ，求 $\odot O$ 的面积． $(\pi$ 取 $3.14)$

某工厂计划生产一种创新产品，若生产一件这种产品需 $A$ 种原料1.2千克、 $B$ 种原料1千克．已知 $A$ 种原料每千克的价格比 $B$ 种原料每千克的价格多10元．

（1）为使每件产品的成本价不超过34元，那么购入的 $B$ 种原料每千克的价格最高不超过多少元？

（2）将这种产品投放市场批发销售一段时间后，为拓展销路又开展了零售业务，每件产品的零售价比批发价多30元．现用10000元通过批发价购买该产品的件数与用16000元通过零售价购买该产品的件数相同，那么这种产品的批发价是多少元？

某区规定学生每天户外体育活动时间不少于1小时．为了解学生参加户外体育活动的情况，对部分学生每天参加户外体育活动的时间进行了随机抽样调查，并将调查结果绘制成如下的统计表（不完整）．

组别	时间（小时）	频数（人数）	频率
$A$	$0⩽t<0.5$	20	0.05
$B$	$0.5⩽t<1$	$a$	0.3
$C$	$1⩽t<1.5$	140	0.35
$D$	$1.5⩽t<2$	80	0.2
$E$	$2⩽t<2.5$	40	0.1

请根据图表中的信息，解答下列问题：

（1）表中的 $a=$ 　          　，将频数分布直方图补全；

（2）该区8000名学生中，每天户外体育活动的时间不足1小时的学生大约有多少名？

（3）若从参加户外体育活动时间最长的3名男生和1名女生中随机抽取两名，请用画树状图或列表法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．