初中数学解答题

（1）计算： $\sqrt[3]{8}+|﹣5|+（﹣1{）}^{2023}$．

（2）已知一次函数 $y＝kx+b$的图象经过点 $（0，1）$与点 $（2，5）$，求该一次函数的表达式．

如图，在锐角△ABC中， $\angle A＝60°$，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．

（1）如图1，若 $AB＞AC$，且 $BD＝CE$， $\angle BCD＝\angle CBE$，求 $\angle CFE$的度数；

（2）如图2，若 $AB＝AC$，且 $BD＝AE$，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）若 $AB＝AC$，且 $BD＝AE$，将 $△ABC$沿直线AB翻折至 $△ABC$所在平面内得到 $△ABP$，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将 $△PHK$沿直线HK翻折至 $△PHK$所在平面内得到 $△QHK$，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且 $QK\perp PF$时，请直接写出 $\frac{\mathit{PQ}}{\mathit{BC}}$的值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$与直线AB交于点 $A（0,﹣4）$， $B（4,0）$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作 $x$轴的平行线交AB于点C，过点P作 $y$轴的平行线交 $x$轴于点D，求 $PC+PD$的最大值及此时点P的坐标；

（3）在（2）中 $PC+PD$取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与 $y$轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．

若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．

例如： $M＝2543$，∵ $3^2+4^2=25$，∴2543是“勾股和数”；

又如： $M＝4325$，∵ $5^2+2^2=29$， $29\ne 43$，∴4325不是“勾股和数”．

（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；

（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记 $G（M）=\frac{c+d}{9}$， $P（M）=\frac{\left|10\left(a-c\right)+\left(b-d\right)\right|}{3}$．当 $G（M）$， $P（M）$均是整数时，求出所有满足条件的M．

如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向， $AC＝200米$．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向， $BD＝100米$．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．

（1）求步道DE的长度（精确到个位）；

（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？

（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732$）

在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．

（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；

（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．

已知一次函数 $y=\mathit{kx}+b\left(k\ne 0\right)$的图象与反比例函数 $y=\frac{4}{x}$的图象相交于点 $A\left(1,m\right)$， $B\left(n,﹣2\right)$．

（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；

（2）根据函数图象，直接写出不等式 $\mathit{kx}+b＞\frac{4}{x}$的解集；

（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．

公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用 $x$表示，共分为三个等级：合格 $80\le x＜85$，良好 $85\le x＜95$，优秀 $x\ge 95$），下面给出了部分信息：

10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．

10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94

抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表

型号	平均数	中位数	众数	方差	“优秀”等级所占百分比
A	90	89	a	26.6	40%
B	90	b	90	30	30%

根据以上信息，解答下列问题：

（1）填空：a＝　 　，b＝　 　，m＝　 　；

（2）这个月公司可生产B型扫地机器人共3000台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数；

（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．

在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：

证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．

在△BAE和△EFB中，

∵EF⊥BC，

∴∠EFB＝90°．

又∠A＝90°，

∴　 　①

∵AD∥BC，

∴　 　②

又 　 　③

∴△BAE≌△EFB（AAS）．

同理可得 　 　④

∴ $S_{△\mathit{BCE}}=S_{△\mathit{EFB}}+S_{△\mathit{EFC}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{矩形}\mathit{ABFE}}+\frac{1}{2}{S}_{\mathit{矩形}\mathit{EFCD}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{矩形}\mathit{ABCD}}$．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y＝x^2﹣2x﹣3$与 $x$轴相交于点 $A，B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴相交于点 $C$，连接 $AC$．

（1）求点 $B$，点 $C$的坐标；

（2）如图1，点 $E（m，0）$在线段 $OB$上（点 $E$不与点 $B$重合），点 $F$在 $y$轴负半轴上， $OE＝OF$，连接 $AF，BF，EF$，设 $△ACF$的面积为 $S_1$， $△BEF$的面积为 $S_2$， $S＝S_1+S_2$，当 $S$取最大值时，求 $m$的值；

（3）如图2，抛物线的顶点为 $D$，连接 $CD，BC$，点 $P$在第一象限的抛物线上， $PD$与 $BC$相交于点 $Q$，是否存在点 $P$，使 $\angle PQC＝\angle ACD$，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：

如图1，在 $△ABC$中， $D$是 $AB$上一点， $\angle ADC＝\angle ACB$．求证 $\angle ACD＝\angle ABC$．

独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．

实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．

“如图2，延长 $CA$至点 $E$，使 $CE＝BD$， $BE$与 $CD$的延长线相交于点 $F$，点 $G，H$分别在 $BF、BC$上， $BG＝CD，\angle BGH＝\angle BCF$．在图中找出与 $BH$相等的线段，并证明．”

问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当 $\angle BAC＝90°$时，若给出 $△ABC$中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．

“如图3，在（2）的条件下，若 $\angle BAC＝90°，AB＝4，AC＝2$，求 $BH$的长．”

如图，在 $△ABC$中， $\angle ACB＝90°$， $BC＝4$，点 $D$在 $AC$上， $CD＝3$，连接 $DB$， $AD＝DB$，点 $P$是边 $AC$上一动点（点 $P$不与点 $A，D，C$重合），过点 $P$作 $AC$的垂线，与 $AB$相交于点 $Q$，连接 $DQ$，设 $AP＝x$， $△PDQ$与 $△ABD$重叠部分的面积为 $S$．

（1）求 $AC$的长；

（2）求 $S$关于 $x$的函数解析式，并直接写出自变量 $x$的取值范围．

$AB$是 $\odot O$的直径， $C$是 $\odot O$上一点， $OD\perp BC$，垂足为 $D$，过点 $A$作 $\odot O$的切线，与 $DO$的延长线相交于点 $E$．

（1）如图1，求证 $\angle B＝\angle E$；

（2）如图2，连接 $AD$，若 $\odot O$的半径为 $2$， $OE＝3$，求 $AD$的长．

如图，莲花山是大连著名的景点之一．游客可以从山底乘坐索道车到达山顶，索道车运行的速度是 $1$米/秒．小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道 $A$处测得白塔底部 $B$的仰角约为 $30°$，测得白塔顶部 $C$的仰角约为 $37°$，索道车从 $A$处运行到 $B$处所用时间约为 $5$分钟．

（1）索道车从 $A$处运行到 $B$处的距离约为＿＿＿＿＿米；

（2）请你利用小明测量的数据，求白塔BC的高度．（结果取整数）

（参考数据： $\sin 37°\approx 0.60，\cos 37°\approx 0.80，\tan 37°\approx 0.75$， $\sqrt{3}\approx 1.73$）

密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积 $V$（单位： $m^3$）变化时，气体的密度 $\rho$（单位： $kg/m^3$）随之变化．已知密度 $\rho$与体积 $V$是反比例函数关系，它的图象如图所示，当 $V＝5m^3$时， $\rho ＝1.98kg/m^3$．

（1）求密度 $\rho$关于体积V的函数解析式；

（2）若 $3\le V\le 9$，求二氧化碳密度 $\rho$的变化范围．