初中数学填空题

如左图是一台手机支架，右图是其侧面示意图， $\mathit{AB},\mathit{BC}$可分别绕点 $A,B$转动，测量知 $\mathit{BC}=8\text{cm},\mathit{AB}=16\text{cm}$.当 $\mathit{AB},\mathit{BC}$转动到 $\angle \mathit{BAE}={60}^{\circ },\angle \mathit{ABC}={50}^{\circ }$时，点 $C$到 $\mathit{AE}$的距离为＿＿＿＿＿ $\text{cm}$.（结果保留小数点后一位，参考数据: $\text{sin}{70}^{\circ }\approx 0.94,\sqrt{3}\approx 1.73$）

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=1$，连接 $\mathit{AC},\angle \mathit{ACD}$的平分线交 $\mathit{AD}$于点 $E$，在 $\mathit{AB}$上截取 $\mathit{AF}=\mathit{DE}$，连接 $\mathit{DF}$，分别交 $\mathit{CE},\mathit{CA}$于点 $G,H$，点 $P$是线段 $\mathit{GC}$上的动点， $\mathit{PQ}\perp \mathit{AC}$于点 $Q$，连接 $\mathit{PH}$.下列结论:① $\mathit{CE}\perp \mathit{DF}$；② $\mathit{DE}+\mathit{DC}=\mathit{AC}$；③ $\mathit{EA}=\sqrt{3}\mathit{AH}$；④ $\mathit{PH}+\mathit{PQ}$的最小值是 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.其中所有正确结论的序号是＿＿＿＿＿．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+3\left(a\ne 0\right)$与 $x$轴交于点 $A\left(1,0\right)$和点 $B\left(-3,0\right)$，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$，与抛物线的对称轴交于点 $E$，顶点为点 $D$.点 $P$是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点 $Q$在射线 $\mathit{ED}$上，若以点 $P,Q,E$为顶点的三角形与 $△\mathit{BOC}$相似，则点 $P$的坐标为＿＿＿＿＿．

已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $A$的坐标为 $\left(3,4\right),M$是抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2\left(a\ne 0\right)$对称轴上的一个动点.小明经探究发现:当 $\frac{b}{a}$的值确定时，抛物线的对称轴上能使 $△\mathit{AOM}$为直角三角形的点 $M$的个数也随之确定，若抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2\left(a\ne 0\right)$的对称轴上存在 $3$个不同的点 $M$，使 $△\mathit{AOM}$为直角三角形，则 $\frac{b}{a}$的值是＿＿＿＿＿．

如图， $△\mathit{ABC}$的顶点是正方形网格的格点，则 $\text{sin}A$的值为＿＿＿＿＿．

如图，已知动点 $A$在函数 $y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象上， $\mathit{AB}\perp x$轴于点 $B$， $\mathit{AC}\perp y$轴于点 $C$，延长 $\mathit{CA}$交以 $A$为圆心 $\mathit{AB}$长为半径的圆弧于点 $E$，延长 $\mathit{BA}$交以 $A$为圆心 $\mathit{AC}$长为半径的圆弧于点 $F$，直线 $\mathit{EF}$分别交 $x$轴， $y$轴于点 $M,N$，当 $\mathit{NF}=4\mathit{EM}$时，图中阴影部分的面积等于＿＿＿＿＿．

如图，射线 $\mathit{AM},\mathit{BN}$都垂直于线段 $\mathit{AB}$，点 $E$为 $\mathit{AM}$上一点，过点 $A$作 $\mathit{BE}$的垂线 $\mathit{AC}$分别交 $\mathit{BE},\mathit{BN}$于点 $F,C$，过点 $C$作 $\mathit{AM}$的垂线 $\mathit{CD}$，垂足为 $D$，若 $\mathit{CD}=\mathit{CF}$，则 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AD}}$的值为＿＿＿＿＿．

设 $a\mathrm{，}b\mathrm{，}c$为实数，且 $a\ne 0$，拋物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A\mathrm{，}B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且抛物线的顶点在直线 $y=-1$上.若 $△\mathit{ABC}$是直角三角形，则 $\mathrm{Rt}△\mathit{ABC}$面积的最大值是＿＿＿＿＿.

若方程 $x^2-2\mathit{ax}+4a-3=0$的两根均大于 $1$，则实数 $a$的取值范围是＿＿＿＿＿.

小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图①，在 $\mathrm{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ }\mathrm{，}\angle B={30}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{AC}=1$.第一步，在 $\mathit{AB}$边上找一点 $D$，将纸片沿 $\mathit{CD}$折叠，点 $A$落在 $A^{\text{'}}$处，如图②；第二步，将纸片沿 $C{A}^{\text{'}}$折叠，点 $D$落在 $D^{\text{'}}$处，如图③.当点 $D^{\text{'}}$恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段 $A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$的长为＿＿＿＿＿.

将两个相似比为 $1:\sqrt{2}$的等腰直角三角形如图①放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.绕点 $C$旋转小直角三角形，使它的斜边与 $\mathit{AB}$交于点 $E\mathrm{，}\mathit{CD}$的延长线与 $\mathit{AB}$交于点 $F$，如图②.若 $\mathit{AE}=\sqrt{2}\mathrm{，}\mathit{BF}=1$，则 $\mathit{EF}=$＿＿＿＿＿.

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$的两边 $\mathit{OC}\mathrm{，}\mathit{OA}$分别在坐标轴上，且 $\mathit{OA}=2\mathrm{，}\mathit{OC}=4$，连接 $\mathit{OB}$.反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}\mathrm{（}x>0\mathrm{）}$的图象经过线段 $\mathit{OB}$的中点 $D$，并与 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{BC}$分别交于点 $E\mathrm{，}F$.一次函数 $y=k_{2}x+b$的图象经过 $E\mathrm{，}F$两点.若点 $P$是 $x$轴上一动点，当 $\mathit{PE}+\mathit{PF}$的值最小时，点 $P$的坐标为＿＿＿＿＿.

如图， $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}={60}^{\circ }\mathrm{，}\angle \mathit{ABC}={45}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{AB}=2\sqrt{2}\mathrm{，}D$是线段 $\mathit{BC}$上的一个动点，以 $\mathit{AD}$为直径画 $\odot O$分别交 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{AC}$于点 $E\mathrm{，}F$，连接 $\mathit{EF}$，则线段 $\mathit{EF}$长度的最小值为＿＿＿＿＿.

如图， $\odot M$的半径为 $2$，圆心 $M$的坐标为 $\mathrm{（}3\mathrm{，}4\mathrm{）}$，点 $P$是 $\odot M$上的任意一点， $\mathit{PA}\perp \mathit{PB}$，且 $\mathit{PA}\mathrm{，}\mathit{PB}$与 $x$轴分别交于 $A\mathrm{，}B$两点，若点 $A$，点 $B$关于原点 $O$对称，则 $\mathit{AB}$的最小值为＿＿＿＿＿.

若实数 $a\mathrm{，}b$满足 $\frac{1}{2}a-\mathit{ab}+b^2+2=0$，则 $a$的取值范围是＿＿＿＿＿.