初中数学试题

将两个相似比为 $1:\sqrt{2}$的等腰直角三角形如图①放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合.绕点 $C$旋转小直角三角形，使它的斜边与 $\mathit{AB}$交于点 $E\mathrm{，}\mathit{CD}$的延长线与 $\mathit{AB}$交于点 $F$，如图②.若 $\mathit{AE}=\sqrt{2}\mathrm{，}\mathit{BF}=1$，则 $\mathit{EF}=$＿＿＿＿＿.

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$的两边 $\mathit{OC}\mathrm{，}\mathit{OA}$分别在坐标轴上，且 $\mathit{OA}=2\mathrm{，}\mathit{OC}=4$，连接 $\mathit{OB}$.反比例函数 $y=\frac{k_1}{x}\mathrm{（}x>0\mathrm{）}$的图象经过线段 $\mathit{OB}$的中点 $D$，并与 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{BC}$分别交于点 $E\mathrm{，}F$.一次函数 $y=k_{2}x+b$的图象经过 $E\mathrm{，}F$两点.若点 $P$是 $x$轴上一动点，当 $\mathit{PE}+\mathit{PF}$的值最小时，点 $P$的坐标为＿＿＿＿＿.

如图， $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}={60}^{\circ }\mathrm{，}\angle \mathit{ABC}={45}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{AB}=2\sqrt{2}\mathrm{，}D$是线段 $\mathit{BC}$上的一个动点，以 $\mathit{AD}$为直径画 $\odot O$分别交 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{AC}$于点 $E\mathrm{，}F$，连接 $\mathit{EF}$，则线段 $\mathit{EF}$长度的最小值为＿＿＿＿＿.

如图， $\odot M$的半径为 $2$，圆心 $M$的坐标为 $\mathrm{（}3\mathrm{，}4\mathrm{）}$，点 $P$是 $\odot M$上的任意一点， $\mathit{PA}\perp \mathit{PB}$，且 $\mathit{PA}\mathrm{，}\mathit{PB}$与 $x$轴分别交于 $A\mathrm{，}B$两点，若点 $A$，点 $B$关于原点 $O$对称，则 $\mathit{AB}$的最小值为＿＿＿＿＿.

若实数 $a\mathrm{，}b$满足 $\frac{1}{2}a-\mathit{ab}+b^2+2=0$，则 $a$的取值范围是＿＿＿＿＿.

已知在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}={90}^{\circ }\mathrm{，}M$是边 $\mathit{BC}$上的中点， $\mathit{BC}$延长线上的点 $N$满足 $\mathit{AM}\perp \mathit{AN}$. $△\mathit{ABC}$的内切圆与边 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{AC}$的切点分别为 $E\mathrm{，}F$，延长 $\mathit{EF}$分别与 $\mathit{AN}\mathrm{，}\mathit{BC}$的延长线交于点 $P\mathrm{，}Q$，则 $\frac{\mathit{PN}}{\mathit{QN}}$为（ ）

A．

$1$

B．

$0.5$

C．

$2$

D．

$1.5$

已知 $△\mathit{ABC}$中，以边 $\mathit{BC}$为直径作半圆交边 $\mathit{AB}\mathrm{，}\mathit{BC}$于 $D\mathrm{，}E$两点， $\mathit{DE}=\mathit{EC}=4\mathrm{，}\mathit{BC}-\mathit{CD}=\frac{16}{5}$，则 $\sqrt{\frac{\mathit{BD}-\mathit{AD}}{\mathit{BC}}}$为（ ）

A．

$\frac{2}{5}$

B．

$\frac{4}{5}$

C．

$\frac{1}{5}$

D．

$\frac{3}{5}$

设二次函数 $y=x^2+2\mathit{ax}+\frac{a^2}{2}$的图象的顶点为 $A$，与 $x$轴的交点为 $B\mathrm{，}C$.当 $△\mathit{ABC}$为等边三角形时，其边长为（ ）

A．

$\sqrt{6}$

B．

$2\sqrt{2}$

C．

$2\sqrt{3}$

D．

$3\sqrt{2}$

如图，从 $1\times 2$的矩形 $\mathit{ABCD}$的较短边 $\mathit{AD}$上找一点 $E$，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是 $\mathit{AE}\mathrm{，}\mathit{DE}$，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点 $E$应选在（ ）

A．	$\mathit{AD}$的中点	B．	$\mathit{AE}:\mathit{ED}=\sqrt{5}-1:2$
C．	$\mathit{AE}:\mathit{ED}=\sqrt{2}:1$	D．	$\mathit{AE}:\mathit{ED}=\mathrm{（}\sqrt{2}-1\mathrm{）}:2$

已知二次函数 $f\mathrm{（}x\mathrm{）}=\mathrm{（}x-a\mathrm{）（}x-b\mathrm{）}-2\mathrm{（}a<b\mathrm{）}$，并且 $\alpha \mathrm{，}\beta \mathrm{（}\alpha <\beta \mathrm{）}$是方程 $f\mathrm{（}x\mathrm{）}=0$的两根，则 $a\mathrm{，}b\mathrm{，}\alpha \mathrm{，}\beta$的大小关系是（ ）

A．

$\alpha <a<b<\beta$

B．

$a<\alpha <\beta <b$

C．

$a<\alpha <b<\beta$

D．

$\alpha <a<\beta <b$

如图，半径为 $5$的 $\odot A$中，弦 $\mathit{BC}\mathrm{，}\mathit{ED}$所对的圆心角分别是 $\angle \mathit{BAC}\mathrm{，}\angle \mathit{EAD}$.已知 $\mathit{DE}=8\mathrm{，}\angle \mathit{BAC}+\angle \mathit{EAD}={180}^{\circ }$，则弦 $\mathit{BC}$的弦心距等于（ ）

A．

$\frac{\sqrt{41}}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{34}}{2}$

C．

$4$

D．

$3$

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A\mathrm{，}B$在 $x$轴的正半轴上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}\mathrm{（}k>0\mathrm{，}x>0\mathrm{）}$的图象经过顶点 $D$，分别与对角线 $\mathit{AC}$，边 $\mathit{BC}$交于点 $E\mathrm{，}F$，连接 $\mathit{EF}\mathrm{，}\mathit{AF}$.若点 $E$为 $\mathit{AC}$的中点， $△\mathit{AEF}$的面积为 $1$，则 $k$的值为（ ）

A．

$\frac{12}{5}$

B．

$\frac{3}{2}$

C．

$2$

D．

$3$

已知 $A\mathrm{，}B$两点的坐标分别为 $\mathrm{（}3\mathrm{，}-4\mathrm{），（}0\mathrm{，}-2\mathrm{）}$，线段 $\mathit{AB}$上有一动点 $M\mathrm{（}m\mathrm{，}n\mathrm{）}$，过点 $M$作 $x$轴的平行线交抛物线 $y=a\mathrm{（}x-1{\mathrm{）}}^2+2$于 $P\left(x_1\mathrm{，}{y}_1\right)\mathrm{，}Q\left(x_2\mathrm{，}{y}_2\right)$两点.若 $x_1<m⩽x_2$，则 $a$的取值范围为（ ）

A．

$-4⩽a<-\frac{3}{2}$

B．

$-4⩽a⩽-\frac{3}{2}$

C．

$-\frac{3}{2}⩽a<0$

D．

$-\frac{3}{2}<a<0$

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ }\mathrm{，}\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$于点 $D\mathrm{，}\mathit{CD}=1$，已知 $\mathit{AD}\mathrm{，}\mathit{BD}$的长是关于 $x$的方程 $x^2+\mathit{px}+q=0$的两根，且 $\tan A-\tan B=2$，求 $p\mathrm{，}q$的值.

如图①，在， $\mathrm{Rt}△\mathit{ABC}$中，以下是小亮探究 $\frac{a}{\sin A}$与 $\frac{b}{\sin B}$之间关系的方法:

$\because \sin A=\frac{a}{c}\mathrm{，}\sin B=\frac{b}{c}\mathrm{，}\therefore c=\frac{a}{\sin A}\mathrm{，}c=\frac{b}{\sin B}\mathrm{，}\therefore \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\text{.}$

根据你掌握的三角函数知识.在图②）的锐角 $△\mathit{ABC}$中，探究 $\frac{a}{\sin A}\mathrm{，}\frac{b}{\sin B}\mathrm{，}\frac{c}{\sin C}$之间的关系，并写出探究过程.