高中数学试题

已知函数（为常数），其图象是曲线．
（1）当时，求函数的单调减区间；
（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；
（3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

已知椭圆的左、右焦点分别为、，为原点.
（1）如图1，点为椭圆上的一点，是的中点，且，求点到轴的距离；

（2）如图2，直线与椭圆相交于、两点，若在椭圆上存在点，使四边形为平行四边形，求的取值范围．

已知函数，.
（1）求的极值点；
（2）对任意的，记在上的最小值为，求的最小值.

已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上为减函数，求实数的取值范围；
（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

设函数，其中，为正整数，、、均为常数，曲线在处的切线方程为.
（1）求、、的值；
（2）求函数的最大值；
（3）证明：对任意的都有.（为自然对数的底）

已知，函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当有两个极值点（设为和）时，求证：.

已知数列，满足，，
（1）已知，求数列所满足的通项公式；
（2）求数列 的通项公式；
（3）己知，设＝，常数,若数列是等差数列，记，求.

已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若，恒成立，求实数的最小值；
（3）证明.

已知点动点P满足.
(Ⅰ)若点的轨迹为曲线,求此曲线的方程；
(Ⅱ)若点在直线：上，直线经过点且与曲线有且只有一个公共点，求的最小值．

已知是椭圆E：的两个焦点，抛物线的焦点为椭圆E的一个焦点，直线y＝上到焦点F₁，F₂距离之和最小的点P恰好在椭圆E上，
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）如图，过点的动直线交椭圆于A、B两点，是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

已知函数.
(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；
(Ⅱ)求的单调区间；
(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.

已知实数，函数.
（1）当时，求的最小值;
（2）当时,判断的单调性,并说明理由；
（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.

已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若,在区间恒成立,求a的取值范围．

已知函数．
(I)讨论的单调性；
(Ⅱ)若在(1，+)恒成立，求实数a的取值范围．

设函数，曲线通过点(0，2a+3)，且在处的切线垂直于y轴．
(I)用a分别表示b和c；
(II)当bc取得最大值时，写出的解析式；
(III)在(II)的条件下，若函数g(x)为偶函数,且当时,，求当时g(x)的表达式，并求函数g(x)在R上的最小值及相应的x值．