高中数学空间向量的应用试题

(13分) 如图，直三棱柱中， ，，.
(Ⅰ)证明：；
（Ⅱ）求二面角的正切值.
 

如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，点M在边CD上，点F在边AB上，且，垂足为E，若将沿AM折起，使点D位于位置，连接，得四棱锥.
（1）求证：；（2）若，直线与平面ABCM所成角的大小为，求直线与平面ABCM所成角的正弦值.

（本题满分14分 ）如图，在三棱柱中，所有的棱长都为2，.
  
（1）求证：；
（2）当三棱柱的体积最大时，
求平面与平面所成的锐角的余弦值.

（本小题满分12分）
如图1，在三棱锥P－A.BC中，PA.⊥平面A.BC，A.C⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正(主)视图和侧(左)视图如图2所示．

(1) 证明：A.D⊥平面PBC；
(2) 求三棱锥D－A.BC的体积；
(3) 在∠A.CB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面A.BD，并求此时PQ的长．

（本小题满分14分）
如图，已知正方体，是底对角线的交点．
求证：（１）面；
（2 ）面．
 

(本题满分14分)
如图所示，在正三棱柱ABC -A₁B₁C₁中，底面边长和侧棱长都是2，D是侧棱CC₁上任意一点，E是A₁B₁的中点。

（I）求证：A₁B₁//平面ABD；
（II）求证：AB⊥CE；
（III）求三棱锥C-ABE的体积。

(本题分12分）
如图，在长方体中，
，为中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由.
（Ⅲ）若二面角的大小为，求的长.

（本小题满分12分）四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，，，．

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设与平面所成的角为，
求二面角的余弦值．

（本小题满分12分）已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ (0＜λ＜1)．

（1）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）当λ为何值时？平面BEF⊥平面ACD. 

（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离．
 

（本小题满分12分）如图，在中，是上的高，沿把折起，使 。
（Ⅰ）证明：平面ADB  ⊥平面BDC；
（Ⅱ）设Ｅ为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值。

（本小题满分12分）如图（1），△是等腰直角三角形，分别为的中点，将△沿折起，使在平面上的射影恰好为的中点，得到图（2）。


（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积。

(本小题共12分)如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为的正三角形，，为的中点，为的中点．
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求证：平面；
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值．

如图，是圆的直径，点在圆上，，交于点，平面，，．

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是 AB、PC的中点．
(1) 求证：EF∥平面PAD；
(2) 求证：EF⊥CD；
(3) 若∠PDA＝45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小．