高中数学空间向量的应用试题

（本小题13分）如图，棱锥的底面是矩形，⊥平面，，

（1）求证：⊥平面；
（2）求二面角的大小；
（3）求点到平面的距离.

（本小题12分）如图，已知三棱锥A－BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．

（Ⅰ）求证：DM∥平面APC；
（II）求证：平面ABC⊥平面APC.

如图所示，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.

(1)证明：PQ⊥平面DCQ；
(2)求棱锥Q－ABCD的体积与棱锥P－DCQ的体积的比值．

（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC−A₁B₁C₁中， AC= BC=AA₁，D是棱AA₁的中点，DC₁⊥BD．
（Ⅰ）证明：DC₁⊥BC；
（Ⅱ）求二面角A₁−BD−C₁的大小．

( 12分)如图，在四棱锥中,侧面是正三角形,底面是边长为2的正方形,侧面平面为的中点.

①求证：平面；
②求直线与平面所成角的正切值.

（本小题满分12分）如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且；
（1）证明：无论取何值，总有；
（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值；
（3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为30º，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．

（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，点在上，.
求证：（1）EF∥平面ABC；
（2）平面平面.

本小题满分12分）

已知三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，
N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
(I)证明：CM⊥SN；(II)求SN与平面CMN所成角的大小．

（本小题满分14分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，
使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）．
（1）当时，求证：BD⊥EG ；
（2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；
（3）当取得最大值时，求二面角D-BF-C的余弦值．

（本小题满分12分）如图所示，正方形和矩形所在平面相互垂直，是的中点． 
（1）求证：；
（2）若直线与平面成45^o角，求异面直线与所成角的余弦值．

（本小题满分12分）如图：在三棱锥中，已知点、、分别为棱、、的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）若，，求证：平面⊥平面．

(本小题满分12分) 如图，已知平面∩平面=AB，PQ⊥于Q，PC⊥于C，CD⊥于D．

（1）求证：P、C、D、Q四点共面；
（2）求证：QD⊥AB．

如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，则下列结论中错误的是（   ）

A．

B．

C．三棱锥的体积为定值

D．异面直线所成的角为定值

（本小题满分12分）四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.若AB=,
（Ⅰ）求证：平面；   
（Ⅱ）若E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD＝AA₁＝1，AB＝2，点E的棱AB上移动。
（I）证明：D₁EA₁D；
（II）AE等于何值时，二面角D₁-EC-D的大小为。