高中数学空间向量的应用解答题

如图1，在中，，，，、分别为、的中点，连接并延长交于，将沿折起，使平面平面，如图2所示．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点使得平面？若存在，请指出点的位置；若不存在，说明理由．

如图，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，，沿将△翻折到△，连接，得到如图的五棱锥，且．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．

（本小题满分12分）如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB=2，AD=EF=1．

（Ⅰ）求证：AF⊥平面CBF；
（Ⅱ）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
（Ⅲ）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的体积分别为，求．

（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，侧面ACC₁A₁是的菱形，且与底面ABC垂直，AC=CB=2，且AC⊥CB．

（Ⅰ）求证：AC₁⊥面A₁BC；
（Ⅱ）求直线A₁B与面ABC所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角B—A₁A—C的正切值．

（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD，PB=PD，⊥，⊥，，分别是，的中点，连结．

求证：（1）∥平面；
（2）⊥平面．

如图，在正方体中，分别是中点．

求证：（1）∥平面；
（2）平面．

（本小题满分14分）已知四棱锥中，，底面是边长为的菱形，，．

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值．

【原创】（本小题满分12分）如图，在四面体中，，点是的中点，点 在线段上， 且．

（1）若∥平面，求实数的值；
（2）求证：平面平面．   

【原创】在三棱锥P－ABC中，D为AB的中点．

（1）与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置并说明理由如下：
（2）若PA＝PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC．

（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形为正方形，四边形是直角梯形，，平面，．

（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小．

（本小题12分）第（1）小题5分，第（2）题7分
如图，在四棱锥中中，底面为菱形，，，点在线段上，且，为的中点．

（1）求证：平面；
（2）若平面平面，求三棱锥的体积；

如图，直三棱柱中，，，D是棱上的动点．

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若平面BDC₁分该棱柱为体积相等的两个部分，试确定点D的位置，并求二面角的大小．

如图所示，在三棱锥中，，平面⊥平面， ．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．

如图，在三棱锥中，平面，，，、、分别为、、的中点，、分别为线段、上的动点，且有．

（1）求证：面；
（2）探究：是否存在这样的动点M，使得二面角为直二面角？若存在，求CM的长度；若不存在，说明理由．

（本小题满分12分）如图，已知三棱柱ABC-A'B'C'侧棱垂直于底面，AB="AC," ∠BAC=90⁰，点M,N分别为A'B和B'C'的中点．

（Ⅰ）证明：MN//平面AA'C'C；
（Ⅱ）设AB=AA'，当A为何值时，CN⊥平面A'MN，试证明你的结论．