高中数学空间向量的应用解答题

如图，三角形 $△PDC$所在的平面与长方形 $ABCD$所在的平面垂直， $PD=PC=4$， $AB=6$， $BC=3$，点 $E$是 $CD$的中点，点 $F$、 $G$分别在线段 $AB$、 $BC$上，且 $AF=2FB$， $CG=2GB$．

（1）证明： $PE\perp FG$；
（2）求二面角 $P-AD-C$的正切值；
（3）求直线 $PA$与直线 $FG$所成角的余弦值．

如图，三棱锥 $P-ABC$中，平面 $PAC\perp$平面 $ABC$， $\angle ABC=\frac{\pi }{2}$，点 $D,E$在线段 $AC$上，且 $AD=DE=EC=2,PD=PC=4$，点 $F$在线段 $AB$上，且 $EF\parallel BC$.

（Ⅰ）证明： $AB\perp$平面 $PFE$.
（Ⅱ）若四棱锥 $P-DFBC$的体积为7，求线段 $BC$的长.

如图，三棱锥 $P-ABC$中， $PC\perp$平面 $ABC,PC=3,\angle ACB=\frac{\pi }{2},D,E$分别为线段 $AB,BC$上的点，且 $CD=DE=\sqrt{2},CE=2EB=2$

（1）证明： $DE\perp$平面 $PCD$

（2）求二面角 $A-PD-C$的余弦值。

如图，在三棱锥 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$中， $\angle ABC={90}^{°},AB=AC=2,A{A}_1=4,$ $A_1$在底面 $ABC$的射影为 $BC$的中点， $D$为 $B_1{C}_1$

（1）证明： $A_{1}D\perp \mathrm{平面}{A}_{1}BC$；
（2）求直线 $A_{1}B$和平面 $B{B}_{1}C{C}_1$所成的角的正弦值.

如图，在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$-中， $\angle BAC={90}^{°}$， $AB=AC=2$， $A_{1}A=4$， $A_1$在底面 $ABC$的射影为 $BC$的中点， $D$为 $B_1{C}_1$的中点.

（1）证明： $A_{1}D\perp$平面 $A_{1}BC$；
（2）求二面角 $A_1-BD-B_1$的平面角的余弦值.

如图，四边形 $ABCD$为菱形， $\angle ABC$=120°， $E,F$是平面 $ABCD$同一侧的两点， $BE$⊥平面 $ABCD$， $DE$⊥平面 $ABCD$， $BE=2DE$， $AE\perp EC$.

（Ⅰ）证明：平面 $AEC$⊥平面 $AFC$；
（Ⅱ）求直线 $AE$与直线 $CF$所成角的余弦值.

如图,已知 $A{A}_1\perp \mathrm{平面}ABC$, $B{B}_1//A{A}_1$, $AB=AC=3$ $BC=2\sqrt{5}$, $A{A}_1=\sqrt{7}$, $B{B}_1=2\sqrt{7}$,点 $E,F$分别是 $BC,A_{1}C$的中点.

（Ⅰ）求证: $EF//\mathrm{平面}{A}_1{B}_{1}BA$;
（Ⅱ）求证:平面 $AE{A}_1\perp \mathrm{平面}BC{B}_1$.
（Ⅲ）求直线 $A_1{B}_1$ 与平面 $BC{B}_1$所成角的大小.

一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示：

（Ⅰ）请按字母 $F,G,H$标记在正方体相应地顶点处（不需要说明理由）
（Ⅱ）判断平面 $BEG$与平面 $ACH$的位置关系,并说明你的结论.
（Ⅲ）证明：直线 $DF\perp$平面 $BEG$.

如图 ，在直角梯形 $ABCD$ 中， $AD\parallel BC$ ， $\angle BAD=\frac{\pi }{2}$ ， $AB=BC=1$ ， $AD=2$ ， 是 $AD$ 的中点， $O$ 是 $AC$ 与 $BE$ 的交点．将 $△ABE$ 沿 $BE$ 折起到 $△A_{1}BE$ 的位置，如图 ．

（Ⅰ）证明： $CD\perp$ 平面 $A_{1}OC$ ；
（Ⅱ）若平面 $A_{1}BE\perp$ 平面 $BCDE$ ，求平面 $A_{1}BC$ 与平面 $A_{1}CD$ 夹角的余弦值．

如图，三棱台DEF-ABC中， $AB=2DE,G,H$ 分别为 $AC,BC$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $BD\parallel$ 平面 $FGH$ ；
（Ⅱ）若 $CF\perp BC,AB\perp BC$ 求证：平面 $BCD\perp$ 平面 $EGH$ .

如图，在三棱台 $DEF-ABC$ 中， $AB=2DE,G,H$ 分别为 $AC,BC$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $BD//$ 平面 $FGH$ ；
（Ⅱ）若 $CF\perp$ 平面 $ABC$ ， $AB\perp BC,CF=DE$ , $\angle BAC={45}^{°}$ ,求平面 $FGH$ 与平面 $ACFD$ 所成的角（锐角）的大小.

如图，三角形 $PDC$ 所在的平面与长方形 $ABCD$ 所在的平面垂直， $PD=PC=4$ ， $AB=6$ ， $BC=3$ ．

（1）证明： $BC//$ 平面 $PDA$ ；
（2）证明： $BC\perp PD$ ；
（3）求点 $C$ 到平面 $PDA$ 的距离．

（本小题满分12 分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，，侧面底面， 若．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．

如图，已知平面,为等边三角形，
 
（1）若平面平面，求CD长度；
（2）求直线AB与平面ADE所成角的取值范围．

（本小题共12分）已知E是矩形ABCD（如图1）边CD上的一点，现沿AE将△DAE折起至△D₁AE（如图2），并且平面D₁AE⊥平面ABCE，图3为四棱锥D₁—ABCE的主视图与左视图．


（1）求证：直线BE⊥平面D₁AE；
（2）求点A到平面D₁BC的距离．