高中数学平面解析几何的产生──数与形的结合试题

抛物线 $y^2=4x$的焦点为 $F$，准线为 $l$,经过 $F$且斜率为 $\sqrt{3}$的直线与抛物线在 $x$轴上方的部分相交于点 $A,AK\perp l$，垂足为 $K$，则 $△AKF$的面积是

A．

4

B．

$3\sqrt{3}$

C．

$4\sqrt{3}$

D．

8

已知双曲线的离心率为2,焦点是 $\left(-4,0\right),\left(4,0\right)$,则双曲线方程为（）

A．	$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$	B．	$\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{4}=1$
C．	$\frac{x^2}{10}-\frac{y^2}{6}=1$	D．	$\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{10}=1$

$\odot O_1$和 $\odot O_2$的极坐标方程分别为 $\rho =4\cos \theta ,\rho =-4\sin \theta$.
（Ⅰ）把 $\odot O_1$和 $\odot O_2$的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）求经过 $\odot O_1,\odot O_2$交点的直线的直角坐标方程.

如图，已知 $AP$ 是 $\odot O$ 的切线， $P$ 为切点， $AC$ 是⊙O的割线，与 $\odot O$ 交于 $B$ 、 $C$ 两点，圆心 $O$ 在 $\angle PAC$ 的内部，点 $M$ 是 $BC$ 的中点.

（Ⅰ）证明 $A,P,O,M$ 四点共圆；
（Ⅱ）求 $\angle OAM＋\angle APM$ 的大小.

曲线 $y=e^{\frac{1}{2}}$在点 $(4,e^2)$处的切线与坐标轴所围三角形的面积为

A．

$\frac{9}{2}{e}^2$

B．

$4e^2$

C．

$2e^2$

D．

$e^2$

已知两点，点为坐标平面内的动点，且满足.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)设过点的直线斜率为，且与曲线相交于点、，若、两点只在第二象限内运动，线段的垂直平分线交轴于点，求点横坐标的取值范围.

已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交于、两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标；若不存在，请说明理由．

已知抛物线焦点恰好是双曲线的右焦点，且两条曲线交点的连线过点，则该双曲线的离心率为          .

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，短轴端点分别为A、B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形
（I）求椭圆的方程；
（II）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足，连结CM交椭圆于P，证明为定值（O为坐标原点）；
（III）在（II）的条件下，试问在x轴上是否存在异于点C的定点Q，使以线段MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由

求圆上的点到直线的距离的最小值和最大值．

（本小题满分14分）
已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，短轴两个端点为A、B，且四边形F₁AF₂B是边长为2的正方形。
（1）求椭圆的方程；
（2）若C、D分别是椭圆长的左、右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM，交椭圆于点P。证明：为定值。
（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

已知双曲线的离心率，左、右焦点分别为，，左准线为，能否在双曲线的左支上找到一点，使得是到的距离与的等比中项？

已知平面上两定点C（1,0）,D（1，0）和一定直线，为该平面上一动点，作，垂足为Q，且
（1）问点在什么曲线上，并求出曲线的轨迹方程M；
（2）又已知点A为抛物线上一点，直线DA与曲线M的交点B不在 轴的右侧，且点B不在轴上，并满足的最小值．

以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；
③抛物线的焦点坐标是；
④曲线与曲线（且）有相同的焦点．
其中真命题的序号为____________写出所有真命题的序号．

如图，过点作垂直于轴的垂线交曲线于点，又过点作轴的平行线交轴于点，记点关于直线的对称点为；……；依此类推．若数列的各项分别为点列的横坐标，且，则 　　　   ．