高中数学试题

如图（1）所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD＝2，E、F、G分别为线段PC、PD、BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD（图（2））．

（1）求证：平面EFG∥平面PAB；
（2）若点Q是线段PB的中点，求证：PC⊥平面ADQ；
（3）求三棱锥C－EFG的体积．

若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为          ．

如图，在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,．

（1）求证：平面；
（2）若四棱锥的体积为, 求二面角的正切值．

已知：以点C（t,） （）为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为坐标原点。
（1）求证：的面积为定值。
（2）设直线与圆C交于点M、N，若OM=ON，求圆C的方程。

某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表

商店名称	A	B	C	D	E E
销售额x（千万元）	3	5	6	7	9 9
利润额y（千万元）	2	3	3	4	5

 
（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性。
（2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．
（3）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．

一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品。现随机抽出两件产品，
（1）求恰好有一件次品的概率。
（2）求都是正品的概率。
（3）求抽到次品的概率

（本小题满分14分）已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值；
（Ⅲ）若正实数满足，证明.

（本小题满分13分）已知抛物线的焦点为，过点F作直线l交抛物线C于A,B两点.椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点F是它的一个顶点，且其离心率.

（Ⅰ）分别求抛物线C和椭圆E的方程；
（Ⅱ）经过A,B两点分别作抛物线C的切线，切线相交于点M.证明；
（Ⅲ）椭圆E上是否存在一点，经过点作抛物线C的两条切线（为切点），使得直线过点F？若存在，求出抛物线C与切线所围成图形的面积；若不存在，试说明理由.

（本小题满分16分）已知函数满足，且当时，，当时，的最大值为．
（1）求实数a的值；
（2）设，函数，．若对任意，总存在，使，求实数b的取值范围．

（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左，右顶点分别为，若直线上有且仅有一个点，使得．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设圆的圆心在x轴上方，且圆经过椭圆两焦点．点，分别为椭圆和圆上的一动点．若时, 取得最大值为，求实数的值．

（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、
，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△的周长为.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点作与直线l平行的直线m，且直线m与抛物线交于P、Q两点，若A、P在x轴
上方，直线PA与直线QB相交于x轴上一点M，求直线l的方程.

（本小题满分12分）某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体
1000名学生中随机抽取了若干名学生的体检表，并得到如下直方图：

（Ⅰ）若直方图中前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的
人数；
（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有
关系，对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查，得到如下数据：

根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
附：

P(K^2≥k)	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

 

（本小题共13分）已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，若恒成立，求实数的取值范围；
（3）设,是数列的前项和，证明．

（本小题满分15分）已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上取两个点，
将其坐标记录于下表中：

x	3		4
		0

 
（Ⅰ）求，的标准方程；
（Ⅱ）请问是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交于不同两点，，且满足？
若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

在平面直角坐标系中，已知抛物线：，在此抛物线上一点到焦点的距离是3．

（1）求此抛物线的方程；
（2）抛物线的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与抛物线交于、两点．是否存在
这样的，使得抛物线上总存在点满足，若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．