初中数学二次函数的性质解答题

已知抛物线 $C:y=x^2-3x+m$，直线 $l:y=\mathit{kx}(k>0)$，当 $k=1$时，抛物线 $C$与直线 $l$只有一个公共点．

（1）求 $m$的值；

（2）若直线 $l$与抛物线 $C$交于不同的两点 $A$， $B$，直线 $l$与直线 $l_1:y=-3x+b$交于点 $P$，且 $\frac{1}{\mathit{OA}}+\frac{1}{\mathit{OB}}=\frac{2}{\mathit{OP}}$，求 $b$的值；

（3）在（2）的条件下，设直线 $l_1$与 $y$轴交于点 $Q$，问：是否在实数 $k$使 $S_{\mathit{\Delta APQ}}=S_{\mathit{\Delta BPQ}}$？若存在，求 $k$的值，若不存在，说明理由．

如图，抛物线与 $x$轴交于点 $A(-5,0)$和点 $B(3,0)$．与 $y$轴交于点 $C(0,5)$．有一宽度为1，长度足够的矩形（阴影部分）沿 $x$轴方向平移，与 $y$轴平行的一组对边交抛物线于点 $P$和 $Q$，交直线 $\mathit{AC}$于点 $M$和 $N$．交 $x$轴于点 $E$和 $F$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $M$和 $N$都在线段 $\mathit{AC}$上时，连接 $\mathit{MF}$，如果 $\sin \angle \mathit{AMF}=\frac{\sqrt{10}}{10}$，求点 $Q$的坐标；

（3）在矩形的平移过程中，当以点 $P$， $Q$， $M$， $N$为顶点的四边形是平行四边形时，求点 $M$的坐标．

已知如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $A$、 $B$、 $C$分别为坐标轴上的三个点，且 $\mathit{OA}=1$， $\mathit{OB}=3$， $\mathit{OC}=4$，

（1）求经过 $A$、 $B$、 $C$三点的抛物线的解析式；

（2）在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中是否存在一点 $P$，使得以点 $A$、 $B$、 $C$、 $P$为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点 $M$为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当 $|\mathit{PM}-\mathit{AM}|$的最大值时点 $M$的坐标，并直接写出 $|\mathit{PM}-\mathit{AM}|$的最大值．

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，直线 $l$与抛物线 $y=m{x}^2+\mathit{nx}$相交于 $A(1$， $3\sqrt{3})$， $B(4,0)$两点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta ABD}$是以线段 $\mathit{AB}$为斜边的直角三角形？若存在，求出点 $D$的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点 $P$是线段 $\mathit{AB}$上一动点，（点 $P$不与点 $A$、 $B$重合），过点 $P$作 $\mathit{PM}//\mathit{OA}$，交第一象限内的抛物线于点 $M$，过点 $M$作 $\mathit{MC}\perp x$轴于点 $C$，交 $\mathit{AB}$于点 $N$，若 $\mathit{\Delta BCN}$、 $\mathit{\Delta PMN}$的面积 $S_{\mathit{\Delta BCN}}$、 $S_{\mathit{\Delta PMN}}$满足 $S_{\mathit{\Delta BCN}}=2S_{\mathit{\Delta PMN}}$，求出 $\frac{\mathit{MN}}{\mathit{NC}}$的值，并求出此时点 $M$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$经过 $A(-1,0)$、 $B(3,0)$、 $C(0,-3)$三点，直线 $l$是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点 $P$是直线 $l$上的一个动点，当点 $P$到点 $A$、点 $C$的距离之和最短时，求点 $P$的坐标；

（3）点 $M$也是直线 $l$上的动点，且 $\mathit{\Delta MAC}$为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 $M$的坐标．

在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， $A(0,2)$、 $B(-1,0)$，将 $\mathit{\Delta ABO}$经过旋转、平移变化后得到如图1所示的 $\mathit{\Delta BCD}$．

（1）求经过 $A$、 $B$、 $C$三点的抛物线的解析式；

（2）连接 $\mathit{AC}$，点 $P$是位于线段 $\mathit{BC}$上方的抛物线上一动点，若直线 $\mathit{PC}$将 $\mathit{\Delta ABC}$的面积分成 $1:3$两部分，求此时点 $P$的坐标；

（3）现将 $\mathit{\Delta ABO}$、 $\mathit{\Delta BCD}$分别向下、向左以 $1:2$的速度同时平移，求出在此运动过程中 $\mathit{\Delta ABO}$与 $\mathit{\Delta BCD}$重叠部分面积的最大值．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(5,0)$， $B(-1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C(0,\frac{5}{2})$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta ACP}$是以点 $A$为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点 $G$为抛物线上的一动点，过点 $G$作 $\mathit{GE}$垂直于 $y$轴于点 $E$，交直线 $\mathit{AC}$于点 $D$，过点 $D$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $F$，连接 $\mathit{EF}$，当线段 $\mathit{EF}$的长度最短时，求出点 $G$的坐标．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与直线 $y=\frac{1}{2}x-3$交于 $A$、 $B$两点，其中点 $A$在 $y$轴上，点 $B$坐标为 $(-4,-5)$，点 $P$为 $y$轴左侧的抛物线上一动点，过点 $P$作 $\mathit{PC}\perp x$轴于点 $C$，交 $\mathit{AB}$于点 $D$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）以 $O$， $A$， $P$， $D$为顶点的平行四边形是否存在？如存在，求点 $P$的坐标；若不存在，说明理由．

（3）当点 $P$运动到直线 $\mathit{AB}$下方某一处时，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $M$，连接 $\mathit{PA}$使 $\mathit{\Delta PAM}$为等腰直角三角形，请直接写出此时点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-(2a+1)x+b$的图象经过 $(2,-1)$和 $(-2,7)$且与直线 $y=\mathit{kx}-2k-3$相交于点 $P(m,2m-7)$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线 $y=\mathit{kx}-2k-3$与抛物线 $y=a{x}^2-(2a+1)x+b$的对称轴的交点 $Q$的坐标；

（3）在 $y$轴上是否存在点 $T$，使 $\mathit{\Delta PQT}$的一边中线等于该边的一半？若存在，求出点 $T$的坐标；若不存在请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+2x+6(a\ne 0)$交 $x$轴与 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$左侧），将直尺 $\mathit{WXYZ}$与 $x$轴负方向成 $45°$放置，边 $\mathit{WZ}$经过抛物线上的点 $C(4,m)$，与抛物线的另一交点为点 $D$，直尺被 $x$轴截得的线段 $\mathit{EF}=2$，且 $\mathit{\Delta CEF}$的面积为6．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）探究：在直线 $\mathit{AC}$上方的抛物线上是否存在一点 $P$，使得 $\mathit{\Delta ACP}$的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿 $x$轴向左平移，设平移的时间为 $t$秒，平移后的直尺为 $W\text{'}X\text{'}Y\text{'}Z\text{'}$，其中边 $X\text{'}Y\text{'}$所在的直线与 $x$轴交于点 $M$，与抛物线的其中一个交点为点 $N$，请直接写出当 $t$为何值时，可使得以 $C$、 $D$、 $M$、 $N$为顶点的四边形是平行四边形．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{(x+1)}^2-3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C(0,-\frac{8}{3})$，顶点为 $D$，对称轴与 $x$轴交于点 $H$，过点 $H$的直线 $l$交抛物线于 $P$， $Q$两点，点 $Q$在 $y$轴的右侧．

（1）求 $a$的值及点 $A$， $B$的坐标；

（2）当直线 $l$将四边形 $\mathit{ABCD}$分为面积比为 $3:7$的两部分时，求直线 $l$的函数表达式；

（3）当点 $P$位于第二象限时，设 $\mathit{PQ}$的中点为 $M$，点 $N$在抛物线上，则以 $\mathit{DP}$为对角线的四边形 $\mathit{DMPN}$能否为菱形？若能，求出点 $N$的坐标；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=m{x}^2+4\mathit{mx}-5m(m<0)$与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），该抛物线的对称轴与直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$相交于点 $E$，与 $x$轴相交于点 $D$，点 $P$在直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$上（不与原点重合），连接 $\mathit{PD}$，过点 $P$作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PD}$交 $y$轴于点 $F$，连接 $\mathit{DF}$．

（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为 $6\sqrt{3}$，求抛物线的解析式；

（2）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（3）如图②所示，小红在探究点 $P$的位置发现：当点 $P$与点 $E$重合时， $\angle \mathit{PDF}$的大小为定值，进而猜想：对于直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$上任意一点 $P$（不与原点重合）， $\angle \mathit{PDF}$的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．

如图，顶点为 $M$的抛物线 $y=a{(x+1)}^2-4$分别与 $x$轴相交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的右侧），与 $y$轴相交于点 $C(0,-3)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）判断 $\mathit{\Delta BCM}$是否为直角三角形，并说明理由．

（3）抛物线上是否存在点 $N$（点 $N$与点 $M$不重合），使得以点 $A$， $B$， $C$， $N$为顶点的四边形的面积与四边形 $\mathit{ABMC}$的面积相等？若存在，求出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知二次函数 $y＝x^2\mathit{﹣（}2k+1）x+k^2+k（k＞0）$

（1）当 $k＝\frac{1}{2}$时，求这个二次函数的顶点坐标；

（2）求证：关于x的一元二次方程

有两个不相等的实数根；

（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且 $\mathit{OP}＝1$，直线AP交BC于点Q，求证： $\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{A{Q}^2}$．

已知抛物线 $y＝a（x-1{）}^2-3（a\ne 0）$的图象与y轴交于点 $A（0\mathit{，﹣}2）$，顶点为B．

（1）试确定a的值，并写出B点的坐标；

（2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式；

（3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值；

（4）若将抛物线平移 $m（m\ne 0）$个单位，所得新抛物线的顶点记作C，与原抛物线的交点记作D，问：点O、C、D能否在同一条直线上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．