初中数学二次函数的应用试题

科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园．

如图所示，图中点的横坐标x表示科技馆从8：30开门后经过的时间（分钟），纵坐标y表示到达科技馆的总人数．图中曲线对应的函数解析式为 $y=\left\{\begin{array}{c}a{x}^2,0\le x\le 30\\ b{(}^x+n,30\le x\le 90\end{array}\right.$，10：00之后来的游客较少可忽略不计．

（1）请写出图中曲线对应的函数解析式；

（2）为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不超过684人，后来的人在馆外休息区等待．从10：30开始到12：00馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆4人，直到馆内人数减少到624人时，馆外等待的游客可全部进入．请问馆外游客最多等待多少分钟？

东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p（元/kg）与时间t（天）之间的函数关系式为 $p=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{4}t+30(1\le t\le 24,t\mathit{为整数）}\\ \text{-}\frac{\text{1}}{\text{2}}t+48(25\le t\le 48,t\mathit{为整数})\end{array}\right.$，且其日销售量y（kg）与时间t（天）的关系如表：

时间t（天）	1	3	6	10	20	40	…
日销售量y（kg）	118	114	108	100	80	40	…

（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？

（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？

（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（n＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．

某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为整数）．

（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式．

（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是多少？

（3）某日，宾馆了解当天的住宿的情况，得到以下信息：①当日所获利润不低于5000元，②宾馆为游客居住的房间共支出费用没有超过600元，③每个房间刚好住满2人．问：这天宾馆入住的游客人数最少有多少人？

某宾馆有客房50间，当每间客房每天的定价为220元时，客房会全部住满；当每间客房每天的定价增加10元时，就会有一间客房空闲，设每间客房每天的定价增加x元时，客房入住数为y间．

（1）求y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（2）如果每间客房入住后每天的各种支出为40元，不考虑其他因素，则该宾馆每间客房每天的定价为多少时利润最大？

某商场试销 A、 B两种型号的台灯，下表是两次进货情况统计：

进货情况 进货次数	进货数量（台）		进货资金（元）
	A	B
第一次	5	3	230
第二次	10	4	440

（1）求 A、 B两种型号台灯的进价各为多少元？

（2）经试销发现， A型号台灯售价 x（元）与销售数量 y（台）满足关系式2 x+ y＝140，此商场决定两种型号台灯共进货100台，并一周内全部售出，若 B型号台灯售价定为20元，求 A型号台灯售价定为多少时，商场可获得最大利润？并通过计算说明商场获得最大利润时的进货方案．

某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为 x，面积为 S平方米．

（1）求 S与 x之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；

（2）设计费能达到24000元吗？为什么？

（3）当 x是多少米时，设计费最多？最多是多少元？

某地的特色农产品在市场上颇具竞争力，其中香菇远销全国各地，上市时，外商王经理按市场价格10元/千克在该市收购了1800千克香菇存放入冷库中，据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计240元，而且香菇在冷库中最多保存90天，同时，平均每天有6千克的香菇损耗不能出售．

（1）若存放 x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为 y元，试写出 y与 x之间的函数关系式．

（2）王经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？

（3）王经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？

天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只4元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系： $y=\left\{\begin{array}{c}32x(0\le x\le 5)\\ 20x+60(5<x\le 19)\end{array}\right.$

（1）李红第几天生产的粽子数量为260只？

（2）如图，设第x天生产的每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画，若李红第x天创造的利润为w元，求w与x之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润＝出厂价﹣成本）

某网店尝试用单价随天数而变化的销售模式销售一种商品，利用30天的时间销售一种成本为10元件的商品售后，经过统计得到此商品单价在第天为正整数）销售的相关信息，如表所示：

销售量（件
销售单价（元件）	当时， $m=20+\frac{1}{2}x$
	当时， $m=10+\frac{420}{x}$

（1）请计算第几天该商品单价为25元件？

（2）求网店销售该商品30天里所获利润（元关于（天的函数关系式；

（3）这30天中第几天获得的利润最大？最大利润是多少？

某商店销售一种销售成本为每件40元的玩具，若按每件50元销售，一个月可售出500件，销售价每涨1元，月销量就减少10件．设销售价为每件 $x$ 元 $(x⩾50)$ ，月销量为 $y$ 件，月销售利润为 $w$ 元．

（1）写出 $y$ 与 $x$ 的函数解析式和 $w$ 与 $x$ 的函数解析式；

（2）商店要在月销售成本不超过10000的情况下，使月销售利润达到8000元，销售价应定为每件多少元？

（3）当销售价定为每件多少元时会获得最大利润？求出最大利润．

某水果店将标价为10元 $/$ 斤的某种水果．经过两次降价后，价格为8.1元 $/$ 斤，并且两次降价的百分率相同．

（1）求该水果每次降价的百分率；

（2）从第二次降价的第1天算起，第 $x$ 天 $(x$ 为整数）的销量及储藏和损耗费用的相关信息如下表所示：

时间（天）	$x$
销量（斤）	$120-x$
储藏和损耗费用（元）	$3x^2-64x+400$

已知该水果的进价为4.1元 $/$ 斤，设销售该水果第 $x$ （天）的利润为 $y$ （元），求 $y$ 与 $x(1⩽x<10)$ 之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大，最大利润是多少？

小红经营的网店以销售文具为主，其中一款笔记本进价为每本10元，该网店在试销售期间发现，每周销售数量 $y$ （本 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间满足一次函数关系，三对对应值如下表：

销售单价     $x$ （元     $)$	12	14	16
每周的销售量     $y$ （本     $)$	500	400	300

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（2）通过与其他网店对比，小红将这款笔记本的单价定为 $x$ 元 $(12⩽x⩽15$ ，且 $x$ 为整数），设每周销售该款笔记本所获利润为 $w$ 元，当销售单价定为多少元时每周所获利润最大，最大利润是多少元？

某超市销售一款"免洗洗手液"，这款"免洗洗手液"的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款"免洗洗手液"的销售单价为 $x$ （元 $)$ ，每天的销售量为 $y$ （瓶 $)$ ．

（1）求每天的销售量 $y$ （瓶 $)$ 与销售单价 $x$ （元 $)$ 之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，销售这款"免洗洗手液"每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta AOB}$ 的顶点 $O$ 是坐标原点，点 $A$ 的坐标为 $(4,4)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(6,0)$ ，动点 $P$ 从 $O$ 开始以每秒1个单位长度的速度沿 $y$ 轴正方向运动，设运动的时间为 $t$ 秒 $(0<t<4)$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PN}//x$ 轴，分别交 $\mathit{AO}$ ， $\mathit{AB}$ 于点 $M$ ， $N$ ．

（1）填空： $\mathit{AO}$ 的长为 　　， $\mathit{AB}$ 的长为 　　；

（2）当 $t=1$ 时，求点 $N$ 的坐标；

（3）请直接写出 $\mathit{MN}$ 的长为 　　（用含 $t$ 的代数式表示）；

（4）点 $E$ 是线段 $\mathit{MN}$ 上一动点（点 $E$ 不与点 $M$ ， $N$ 重合）， $\mathit{\Delta AOE}$ 和 $\mathit{\Delta ABE}$ 的面积分别表示为 $S_1$ 和 $S_2$ ，当 $t=\frac{4}{3}$ 时，请直接写出 $S_1·S_2$ （即 $S_1$ 与 $S_2$ 的积）的最大值为 　　．

某服装厂生产 $A$ 品种服装，每件成本为71元，零售商到此服装厂一次性批发 $A$ 品牌服装 $x$ 件时，批发单价为 $y$ 元， $y$ 与 $x$ 之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数 $x$ 为10的正整数倍．

（1）当 $100⩽x⩽300$ 时， $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 　        　．

（2）某零售商到此服装厂一次性批发 $A$ 品牌服装200件，需要支付多少元？

（3）零售商到此服装厂一次性批发 $A$ 品牌服装 $x(100⩽x⩽400)$ 件，服装厂的利润为 $w$ 元，问： $x$ 为何值时， $w$ 最大？最大值是多少？