初中数学二次函数的应用解答题

在平面直角坐标系中， $O$ 为原点， $\mathit{\Delta OAB}$ 是等腰直角三角形， $\angle \mathit{OBA}=90°$ ， $\mathit{BO}=\mathit{BA}$ ，顶点 $A(4,0)$ ，点 $B$ 在第一象限，矩形 $\mathit{OCDE}$ 的顶点 $E(-\frac{7}{2}$ ， $0)$ ，点 $C$ 在 $y$ 轴的正半轴上，点 $D$ 在第二象限，射线 $\mathit{DC}$ 经过点 $B$ ．

（Ⅰ）如图①，求点 $B$ 的坐标；

（Ⅱ）将矩形 $\mathit{OCDE}$ 沿 $x$ 轴向右平移，得到矩形 $O\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}$ ，点 $O$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 的对应点分别为 $O\text{'}$ ， $C\text{'}$ ， $D\text{'}$ ， $E\text{'}$ ．设 $\mathit{OO}\text{'}=t$ ，矩形 $O\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}$ 与 $\mathit{\Delta OAB}$ 重叠部分的面积为 $S$ ．

①如图②，当点 $E\text{'}$ 在 $x$ 轴正半轴上，且矩形 $O\text{'}C\text{'}D\text{'}E\text{'}$ 与 $\mathit{\Delta OAB}$ 重叠部分为四边形时， $D\text{'}E\text{'}$ 与 $\mathit{OB}$ 相交于点 $F$ ，试用含有 $t$ 的式子表示 $S$ ，并直接写出 $t$ 的取值范围；

②当 $\frac{5}{2}⩽t⩽\frac{9}{2}$ 时，求 $S$ 的取值范围（直接写出结果即可）．

用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图 $1)$．

科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为 $H$（单位： $\mathit{cm})$，如果在离水面竖直距离为 $h$（单位： $\mathit{cm})$的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离） $s$（单位： $\mathit{cm})$与 $h$的关系式为 $s^2=4h(H-h)$．

应用思考：现用高度为 $20\mathit{cm}$的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离 $\mathit{hcm}$处开一个小孔．

（1）写出 $s^2$与 $h$的关系式；并求出当 $h$为何值时，射程 $s$有最大值，最大射程是多少？

（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 $a$， $b$，要使两孔射出水的射程相同，求 $a$， $b$之间的关系式；

（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加 $16\mathit{cm}$，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．

某商贸公司购进某种商品的成本为20元 $/\mathit{kg}$，经过市场调研发现，这种商品在未来40天的销售单价 $y$（元 $/\mathit{kg})$与时间 $x$（天 $)$之间的函数关系式为： $y=\left\{\begin{array}{c}0.25x+30\left(1⩽x⩽20且x\mathit{为整数}\right)\\ 35(20<x⩽40且x\mathit{为整数})\end{array}\right.$，且日销量 $m\left(\mathit{kg}\right)$与时间 $x$（天 $)$之间的变化规律符合一次函数关系，如下表：

时间 $x$（天 $)$	1	3	6	10	$\dots$
日销量 $m\left(\mathit{kg}\right)$	142	138	132	124	$\dots$

（1）填空： $m$与 $x$的函数关系为 　　；

（2）哪一天的销售利润最大？最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，公司决定每销售 $1\mathit{kg}$商品就捐赠 $n$元利润 $(n<4)$给当地福利院，后发现：在前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 $x$的增大而增大，求 $n$的取值范围．

如图，在平面直角坐标系中，菱形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$在 $x$轴上，点 $B$坐标 $(-3,0)$，点 $C$在 $y$轴正半轴上，且 $\sin \angle \mathit{CBO}=\frac{4}{5}$，点 $P$从原点 $O$出发，以每秒一个单位长度的速度沿 $x$轴正方向移动，移动时间为 $t(0⩽t⩽5)$秒，过点 $P$作平行于 $y$轴的直线 $l$，直线 $l$扫过四边形 $\mathit{OCDA}$的面积为 $S$．

（1）求点 $D$坐标．

（2）求 $S$关于 $t$的函数关系式．

（3）在直线 $l$移动过程中， $l$上是否存在一点 $Q$，使以 $B$、 $C$、 $Q$为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出 $Q$点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，直线 $l:y=-\frac{3}{4}x+b$与 $x$轴交于点 $A(4,0)$，与 $y$轴交于点 $B$，点 $C$是线段 $\mathit{OA}$上一动点 $(0<\mathit{AC}<\frac{16}{5})$．以点 $A$为圆心， $\mathit{AC}$长为半径作 $\odot A$交 $x$轴于另一点 $D$，交线段 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$并延长交 $\odot A$于点 $F$．

（1）求直线 $l$的函数表达式和 $\tan \angle \mathit{BAO}$的值；

（2）如图2，连接 $\mathit{CE}$，当 $\mathit{CE}=\mathit{EF}$时，

①求证： $\mathit{\Delta OCE}\backsim \mathit{\Delta OEA}$；

②求点 $E$的坐标；

（3）当点 $C$在线段 $\mathit{OA}$上运动时，求 $\mathit{OE}\cdot \mathit{EF}$的最大值．

红星公司销售一种成本为40元 $/$件产品，若月销售单价不高于50元 $/$件，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为 $x$（单位：元 $/$件），月销售量为 $y$（单位：万件）．

（1）直接写出 $y$与 $x$之间的函数关系式，并写出自变量 $x$的取值范围；

（2）当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？

（3）为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款 $a$元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元 $/$件，月销售最大利润是78万元，求 $a$的值．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3\mathit{cm}$， $\mathit{AD}=\sqrt{3}\mathit{cm}$．动点 $P$从点 $A$出发沿折线 $\mathit{AB}-\mathit{BC}$向终点 $C$运动，在边 $\mathit{AB}$上以 $1\mathit{cm}/s$的速度运动；在边 $\mathit{BC}$上以 $\sqrt{3}\mathit{cm}/s$的速度运动，过点 $P$作线段 $\mathit{PQ}$与射线 $\mathit{DC}$相交于点 $Q$，且 $\angle \mathit{PQD}=60°$，连接 $\mathit{PD}$， $\mathit{BD}$．设点 $P$的运动时间为 $x\left(s\right)$， $\mathit{\Delta DPQ}$与 $\mathit{\Delta DBC}$重合部分图形的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$．

（1）当点 $P$与点 $A$重合时，直接写出 $\mathit{DQ}$的长；

（2）当点 $P$在边 $\mathit{BC}$上运动时，直接写出 $\mathit{BP}$的长（用含 $x$的代数式表示）；

（3）求 $y$关于 $x$的函数解析式，并写出自变量 $x$的取值范围．

如图， $\mathit{\Delta OAB}$是边长为 $2+\sqrt{3}$的等边三角形，其中 $O$是坐标原点，顶点 $B$在 $y$轴正方向上，将 $\mathit{\Delta OAB}$折叠，使点 $A$落在边 $\mathit{OB}$上，记为 $A\text{'}$，折痕为 $\mathit{EF}$．

（1）当 $A\text{'}E//x$轴时，求点 $A\text{'}$和 $E$的坐标；

（2）当 $A\text{'}E//x$轴，且抛物线 $y=-\frac{1}{6}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A\text{'}$和 $E$时，求抛物线与 $x$轴的交点的坐标；

（3）当点 $A\text{'}$在 $\mathit{OB}$上运动，但不与点 $O$、 $B$重合时，能否使△ $A\text{'}\mathit{EF}$成为直角三角形？若能，请求出此时点 $A\text{'}$的坐标；若不能，请你说明理由．

甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．

说明：①汽车数量为整数；②月利润 $=$ 月租车费 $-$ 月维护费；③两公司月利润差 $=$ 月利润较高公司的利润 $-$ 月利润较低公司的利润．

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 　 48000 　元；当每个公司租出的汽车为 　　辆时，两公司的月利润相等；

（2）求两公司月利润差的最大值；

（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出 $a$ 元 $(a>0)$ 给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求 $a$ 的取值范围．

如图（1）放置两个全等的含有 $30°$角的直角三角板 $\mathit{ABC}$与 $\mathit{DEF}(\angle B=\angle E=30°)$，若将三角板 $\mathit{ABC}$向右以每秒1个单位长度的速度移动（点 $C$与点 $E$重合时移动终止），移动过程中始终保持点 $B$、 $F$、 $C$、 $E$在同一条直线上，如图（2）， $\mathit{AB}$与 $\mathit{DF}$、 $\mathit{DE}$分别交于点 $P$、 $M$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{DE}$交于点 $Q$，其中 $\mathit{AC}=\mathit{DF}=\sqrt{3}$，设三角板 $\mathit{ABC}$移动时间为 $x$秒．

（1）在移动过程中，试用含 $x$的代数式表示 $\mathit{\Delta AMQ}$的面积；

（2）计算 $x$等于多少时，两个三角板重叠部分的面积有最大值？最大值是多少？

已知： $\text{Rt}\Delta \text{EFP}$和矩形 $\mathit{ABCD}$如图①摆放（点 $P$与点 $B$重合），点 $F$， $B\left(P\right)$， $C$在同一直线上， $\mathit{AB}=\mathit{EF}=6\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=\mathit{FP}=8\mathit{cm}$， $\angle \mathit{EFP}=90°$．如图②， $\mathit{\Delta EFP}$从图①的位置出发，沿 $\mathit{BC}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$， $\mathit{EP}$与 $\mathit{AB}$交于点 $G$；同时，点 $Q$从点 $C$出发，沿 $\mathit{CD}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$．过点 $Q$作 $\mathit{QM}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $H$，交 $\mathit{AD}$于点 $M$，连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{PQ}$，当点 $Q$停止运动时， $\mathit{\Delta EFP}$也停止运动．设运动时间为 $t\left(s\right)(0<t<6)$，解答下列问题：

（1）当 $t$为何值时， $\mathit{PQ}//\mathit{BD}$？

（2）设五边形 $\mathit{AFPQM}$的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$，求 $y$与 $t$之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使 $S_{\mathit{五边形AFPQM}}:S_{\mathit{矩形ABCD}}=9:8$？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使点 $M$在线段 $\mathit{PG}$的垂直平分线上？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

已知：如图，四边形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}//\mathit{DC}$， $\mathit{CB}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{AB}=16\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=6\mathit{cm}$， $\mathit{CD}=8\mathit{cm}$，动点 $P$从点 $D$开始沿 $\mathit{DA}$边匀速运动，动点 $Q$从点 $A$开始沿 $\mathit{AB}$边匀速运动，它们的运动速度均为 $2\mathit{cm}/s$．点 $P$和点 $Q$同时出发，以 $\mathit{QA}$、 $\mathit{QP}$为边作平行四边形 $\mathit{AQPE}$，设运动的时间为 $t\left(s\right)$， $0<t<5$．

根据题意解答下列问题：

（1）用含 $t$的代数式表示 $\mathit{AP}$；

（2）设四边形 $\mathit{CPQB}$的面积为 $S\left(c{m}^2\right)$，求 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）当 $\mathit{QP}\perp \mathit{BD}$时，求 $t$的值；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使点 $E$在 $\angle \mathit{ABD}$的平分线上？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图1，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{OABC}$各顶点的坐标分别为 $O(0,0)$， $A(3$， $3\sqrt{3})$、 $B(9$， $5\sqrt{3})$， $C(14,0)$，动点 $P$与 $Q$同时从 $O$点出发，运动时间为 $t$秒，点 $P$沿 $\mathit{OC}$方向以1单位长度 $/$秒的速度向点 $C$运动，点 $Q$沿折线 $\mathit{OA}-\mathit{AB}-\mathit{BC}$运动，在 $\mathit{OA}$、 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$上运动的速度分别为3， $\sqrt{3}$， $\frac{5}{2}$（单位长度 $/$秒），当 $P$、 $Q$中的一点到达 $C$点时，两点同时停止运动．

（1）求 $\mathit{AB}$所在直线的函数表达式；

（2）如图2，当点 $Q$在 $\mathit{AB}$上运动时，求 $\mathit{\Delta CPQ}$的面积 $S$关于 $t$的函数表达式及 $S$的最大值；

（3）在 $P$、 $Q$的运动过程中，若线段 $\mathit{PQ}$的垂直平分线经过四边形 $\mathit{OABC}$的顶点，求相应的 $t$值．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=-\frac{2}{3}x+4$的图象与 $x$轴和 $y$轴分别相交于 $A$、 $B$两点．动点 $P$从点 $A$出发，在线段 $\mathit{AO}$上以每秒3个单位长度的速度向点 $O$作匀速运动，到达点 $O$停止运动，点 $A$关于点 $P$的对称点为点 $Q$，以线段 $\mathit{PQ}$为边向上作正方形 $\mathit{PQMN}$．设运动时间为 $t$秒．

（1）当 $t=\frac{1}{3}$秒时，点 $Q$的坐标是　　；

（2）在运动过程中，设正方形 $\mathit{PQMN}$与 $\mathit{\Delta AOB}$重叠部分的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数表达式；

（3）若正方形 $\mathit{PQMN}$对角线的交点为 $T$，请直接写出在运动过程中 $\mathit{OT}+\mathit{PT}$的最小值．

在篮球比赛中，东东投出的球在点 $A$处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点 $B$．

（1）求该抛物线的函数表达式．

（2）当球运动到点 $C$时被东东抢到， $\mathit{CD}\perp x$轴于点 $D$， $\mathit{CD}=2.6m$．

①求 $\mathit{OD}$的长．

②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点 $D$处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点 $E(4,1.3)$．东东起跳后所持球离地面高度 $h_1\left(m\right)$（传球前）与东东起跳后时间 $t\left(s\right)$满足函数关系式 $h_1=-2{(t-0.5)}^2+2.7(0⩽t⩽1)$；小戴在点 $F(1.5,0)$处拦截，他比东东晚 $0.3s$垂直起跳，其拦截高度 $h_2\left(m\right)$与东东起跳后时间 $t\left(s\right)$的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点 $E$？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．