初中数学全等三角形的判定与性质解答题

有两个内角分别是它们对角的一半的四边形叫做半对角四边形．

（1）如图1，在半对角四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle B=\frac{1}{2}\angle D$， $\angle C=\frac{1}{2}\angle A$，求 $\angle B$与 $\angle C$的度数之和；

（2）如图2，锐角 $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$，若边 $\mathit{AB}$上存在一点 $D$，使得 $\mathit{BD}=\mathit{BO}$， $\angle \mathit{OBA}$的平分线交 $\mathit{OA}$于点 $E$，连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AC}$于点 $F$， $\angle \mathit{AFE}=2\angle \mathit{EAF}$．求证：四边形 $\mathit{DBCF}$是半对角四边形；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点 $D$作 $\mathit{DG}\perp \mathit{OB}$于点 $H$，交 $\mathit{BC}$于点 $G$，当 $\mathit{DH}=\mathit{BG}$时，求 $\mathit{\Delta BGH}$与 $\mathit{\Delta ABC}$的面积之比．

如图1，在直角坐标系 $\mathit{xoy}$中，直线 $l:y=\mathit{kx}+b$交 $x$轴， $y$轴于点 $E$， $F$，点 $B$的坐标是 $(2,2)$，过点 $B$分别作 $x$轴、 $y$轴的垂线，垂足为 $A$、 $C$，点 $D$是线段 $\mathit{CO}$上的动点，以 $\mathit{BD}$为对称轴，作与 $\mathit{\Delta BCD}$成轴对称的△ $\mathit{BC}\text{'}D$．

（1）当 $\angle \mathit{CBD}=15°$时，求点 $C\text{'}$的坐标．

（2）当图1中的直线 $l$经过点 $A$，且 $k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$时（如图 $2)$，求点 $D$由 $C$到 $O$的运动过程中，线段 $\mathit{BC}\text{'}$扫过的图形与 $\mathit{\Delta OAF}$重叠部分的面积．

（3）当图1中的直线 $l$经过点 $D$， $C\text{'}$时（如图 $3)$，以 $\mathit{DE}$为对称轴，作与 $\mathit{\Delta DOE}$成轴对称的△ $\mathit{DO}\text{'}E$，连接 $O\text{'}C$， $O\text{'}O$，问是否存在点 $D$，使得△ $\mathit{DO}\text{'}E$与△ $\mathit{CO}\text{'}O$相似？若存在，求出 $k$、 $b$的值；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中， $O$为坐标原点，点 $A$的坐标为 $(5,0)$，菱形 $\mathit{OABC}$的顶点 $B$， $C$都在第一象限， $\tan \angle \mathit{AOC}=\frac{4}{3}$，将菱形绕点 $A$按顺时针方向旋转角 $\alpha (0°<\angle \alpha <\angle \mathit{AOC})$得到菱形 $\mathit{FADE}$（点 $O$的对应点为点 $F)$， $\mathit{EF}$与 $\mathit{OC}$交于点 $G$，连接 $\mathit{AG}$．

（1）求点 $B$的坐标．

（2）当 $\mathit{OG}=4$时，求 $\mathit{AG}$的长．

（3）求证： $\mathit{GA}$平分 $\angle \mathit{OGE}$．

（4）连接 $\mathit{BD}$并延长交 $x$轴于点 $P$，当点 $P$的坐标为 $(12,0)$时，求点 $G$的坐标．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为 $\mathit{BC}$上一点， $F$为 $\mathit{DE}$的中点，且 $\angle \mathit{BFC}=90°$．

（1）当 $E$为 $\mathit{BC}$中点时，求证： $\mathit{\Delta BCF}\cong \mathit{\Delta DEC}$；

（2）当 $\mathit{BE}=2\mathit{EC}$时，求 $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{BC}}$的值；

（3）设 $\mathit{CE}=1$， $\mathit{BE}=n$，作点 $C$关于 $\mathit{DE}$的对称点 $C\text{'}$，连接 $\mathit{FC}\text{'}$， $\mathit{AF}$，若点 $C\text{'}$到 $\mathit{AF}$的距离是 $\frac{2\sqrt{10}}{5}$，求 $n$的值．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为 $\mathit{BC}$上一点， $F$为 $\mathit{DE}$的中点，且 $\angle \mathit{BFC}=90°$．

（1）当 $E$为 $\mathit{BC}$中点时，求证： $\mathit{\Delta BCF}\cong \mathit{\Delta DEC}$；

（2）当 $\mathit{BE}=2\mathit{EC}$时，求 $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{BC}}$的值；

（3）设 $\mathit{CE}=1$， $\mathit{BE}=n$，作点 $C$关于 $\mathit{DE}$的对称点 $C\text{'}$，连接 $\mathit{FC}\text{'}$， $\mathit{AF}$，若点 $C\text{'}$到 $\mathit{AF}$的距离是 $\frac{2\sqrt{10}}{5}$，求 $n$的值．

数学活动课上，某学习小组对有一内角为 $120°$的平行四边形 $\mathit{ABCD}(\angle \mathit{BAD}=120°)$进行探究：将一块含 $60°$的直角三角板如图放置在平行四边形 $\mathit{ABCD}$所在平面内旋转，且 $60°$角的顶点始终与点 $C$重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$于点 $E$， $F$（不包括线段的端点）．

（1）初步尝试

如图1，若 $\mathit{AD}=\mathit{AB}$，求证：① $\mathit{\Delta BCE}\cong \mathit{\Delta ACF}$，② $\mathit{AE}+\mathit{AF}=\mathit{AC}$；

（2）类比发现

如图2，若 $\mathit{AD}=2\mathit{AB}$，过点 $C$作 $\mathit{CH}\perp \mathit{AD}$于点 $H$，求证： $\mathit{AE}=2\mathit{FH}$；

（3）深入探究

如图3，若 $\mathit{AD}=3\mathit{AB}$，探究得： $\frac{\mathit{AE}+3\mathit{AF}}{\mathit{AC}}$的值为常数 $t$，则 $t=$　　．

在线段 $\mathit{AB}$的同侧作射线 $\mathit{AM}$和 $\mathit{BN}$，若 $\angle \mathit{MAB}$与 $\angle \mathit{NBA}$的平分线分别交射线 $\mathit{BN}$， $\mathit{AM}$于点 $E$， $F$， $\mathit{AE}$和 $\mathit{BF}$交于点 $P$．如图，点点同学发现当射线 $\mathit{AM}$， $\mathit{BN}$交于点 $C$；且 $\angle \mathit{ACB}=60°$时，有以下两个结论：

① $\angle \mathit{APB}=120°$；② $\mathit{AF}+\mathit{BE}=\mathit{AB}$．

那么，当 $\mathit{AM}//\mathit{BN}$时：

（1）点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出 $\angle \mathit{APB}$的度数，写出 $\mathit{AF}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{AB}$长度之间的等量关系，并给予证明；

（2）设点 $Q$为线段 $\mathit{AE}$上一点， $\mathit{QB}=5$，若 $\mathit{AF}+\mathit{BE}=16$，四边形 $\mathit{ABEF}$的面积为 $32\sqrt{3}$，求 $\mathit{AQ}$的长．

如图，直线 $l:y=\mathit{kx}+b(k<0)$与函数 $y=\frac{4}{x}(x>0)$的图象相交于 $A$、 $C$两点，与 $x$轴相交于 $T$点，过 $A$、 $C$两点作 $x$轴的垂线，垂足分别为 $B$、 $D$，过 $A$、 $C$两点作 $y$轴的垂线，垂足分别为 $E$、 $F$；直线 $\mathit{AE}$与 $\mathit{CD}$相交于点 $P$，连接 $\mathit{DE}$．设 $A$、 $C$两点的坐标分别为 $(a,\frac{4}{a})$、 $(c,\frac{4}{c})$，其中 $a>c>0$．

（1）如图①，求证： $\angle \mathit{EDP}=\angle \mathit{ACP}$；

（2）如图②，若 $A$、 $D$、 $E$、 $C$四点在同一圆周上，求 $k$的值；

（3）如图③，已知 $c=1$，且点 $P$在直线 $\mathit{BF}$上，试问：在线段 $\mathit{AT}$上是否存在点 $M$，使得 $\mathit{OM}\perp \mathit{AM}$？如存在，请求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，点 $A$坐标为 $(2,0)$，以 $\mathit{OA}$为边在第一象限内作等边 $\mathit{\Delta OAB}$，点 $C$为 $x$轴上一动点，且在点 $A$右侧，连接 $\mathit{BC}$，以 $\mathit{BC}$为边在第一象限内作等边 $\mathit{\Delta BCD}$，连接 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于 $E$．

（1）①直接回答： $\mathit{\Delta OBC}$与 $\mathit{\Delta ABD}$全等吗？

②试说明：无论点 $C$如何移动， $\mathit{AD}$始终与 $\mathit{OB}$平行；

（2）当点 $C$运动到使 $A{C}^2=\mathit{AE}·\mathit{AD}$时，如图2，经过 $O$、 $B$、 $C$三点的抛物线为 $y_1$．试问： $y_1$上是否存在动点 $P$，使 $\mathit{\Delta BEP}$为直角三角形且 $\mathit{BE}$为直角边？若存在，求出点 $P$坐标；若不存在，说明理由；

（3）在（2）的条件下，将 $y_1$沿 $x$轴翻折得 $y_2$，设 $y_1$与 $y_2$组成的图形为 $M$，函数 $y=\sqrt{3}x+\sqrt{3}m$的图象 $l$与 $M$有公共点．试写出： $l$与 $M$的公共点为3个时， $m$的取值．

已知：在平面直角坐标系中，点 $O$为坐标原点，点 $A$在 $x$轴的负半轴上，直线 $y=-\sqrt{3}x+\frac{7}{2}\sqrt{3}$与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $B$、 $C$两点，四边形 $\mathit{ABCD}$为菱形．

（1）如图1，求点 $A$的坐标；

（2）如图2，连接 $\mathit{AC}$，点 $P$为 $\mathit{\Delta ACD}$内一点，连接 $\mathit{AP}$、 $\mathit{BP}$， $\mathit{BP}$与 $\mathit{AC}$交于点 $G$，且 $\angle \mathit{APB}=60°$，点 $E$在线段 $\mathit{AP}$上，点 $F$在线段 $\mathit{BP}$上，且 $\mathit{BF}=\mathit{AE}$，连接 $\mathit{AF}$、 $\mathit{EF}$，若 $\angle \mathit{AFE}=30°$，求 $A{F}^2+E{F}^2$的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，当 $\mathit{PE}=\mathit{AE}$时，求点 $P$的坐标．

（1）数学理解：如图①， $\mathit{\Delta ABC}$是等腰直角三角形，过斜边 $\mathit{AB}$的中点 $D$作正方形 $\mathit{DECF}$，分别交 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，求 $\mathit{AB}$， $\mathit{BE}$， $\mathit{AF}$之间的数量关系；

（2）问题解决：如图②，在任意直角 $\mathit{\Delta ABC}$内，找一点 $D$，过点 $D$作正方形 $\mathit{DECF}$，分别交 $\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，若 $\mathit{AB}=\mathit{BE}+\mathit{AF}$，求 $\angle \mathit{ADB}$的度数；

（3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长 $\mathit{ED}$， $\mathit{FD}$，交 $\mathit{AB}$于点 $M$， $N$，求 $\mathit{MN}$， $\mathit{AM}$， $\mathit{BN}$的数量关系．

问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30°$，那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle \mathit{ABC}=30°$，则： $\mathit{AC}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$．

探究结论：小明同学对以上结论作了进一步研究．

（1）如图1，连接 $\mathit{AB}$边上中线 $\mathit{CE}$，由于 $\mathit{CE}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$，易得结论：① $\mathit{\Delta ACE}$为等边三角形；② $\mathit{BE}$与 $\mathit{CE}$之间的数量关系为　　．

（2）如图2，点 $D$是边 $\mathit{CB}$上任意一点，连接 $\mathit{AD}$，作等边 $\mathit{\Delta ADE}$，且点 $E$在 $\angle \mathit{ACB}$的内部，连接 $\mathit{BE}$．试探究线段 $\mathit{BE}$与 $\mathit{DE}$之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．

（3）当点 $D$为边 $\mathit{CB}$延长线上任意一点时，在（2）条件的基础上，线段 $\mathit{BE}$与 $\mathit{DE}$之间存在怎样的数量关系？请直接写出你的结论　　．

拓展应用：如图3，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $A$的坐标为 $(-\sqrt{3}$， $1)$，点 $B$是 $x$轴正半轴上的一动点，以 $\mathit{AB}$为边作等边 $\mathit{\Delta ABC}$，当 $C$点在第一象限内，且 $B(2,0)$时，求 $C$点的坐标．

已知：如图，四边形 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}//\mathit{DC}$， $\mathit{CB}\perp \mathit{AB}$， $\mathit{AB}=16\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=6\mathit{cm}$， $\mathit{CD}=8\mathit{cm}$，动点 $P$从点 $D$开始沿 $\mathit{DA}$边匀速运动，动点 $Q$从点 $A$开始沿 $\mathit{AB}$边匀速运动，它们的运动速度均为 $2\mathit{cm}/s$．点 $P$和点 $Q$同时出发，以 $\mathit{QA}$、 $\mathit{QP}$为边作平行四边形 $\mathit{AQPE}$，设运动的时间为 $t\left(s\right)$， $0<t<5$．

根据题意解答下列问题：

（1）用含 $t$的代数式表示 $\mathit{AP}$；

（2）设四边形 $\mathit{CPQB}$的面积为 $S\left(c{m}^2\right)$，求 $S$与 $t$的函数关系式；

（3）当 $\mathit{QP}\perp \mathit{BD}$时，求 $t$的值；

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使点 $E$在 $\angle \mathit{ABD}$的平分线上？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形， $\mathit{AD}=\mathit{AC}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{AC}$， $E$是 $\mathit{AB}$的中点， $F$是 $\mathit{AC}$延长线上一点．

（1）若 $\mathit{ED}\perp \mathit{EF}$，求证： $\mathit{ED}=\mathit{EF}$；

（2）在（1）的条件下，若 $\mathit{DC}$的延长线与 $\mathit{FB}$交于点 $P$，试判定四边形 $\mathit{ACPE}$是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；

（3）若 $\mathit{ED}=\mathit{EF}$， $\mathit{ED}$与 $\mathit{EF}$垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，矩形 $\mathit{EFGH}$的一边 $\mathit{EF}$在 $\mathit{AB}$上，顶点 $G$、 $H$分别在 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$上， $\mathit{CD}$是边 $\mathit{AB}$上的高， $\mathit{CD}$交 $\mathit{GH}$于点 $I$．若 $\mathit{CI}=4$， $\mathit{HI}=3$， $\mathit{AD}=\frac{9}{2}$．矩形 $\mathit{DFGI}$恰好为正方形．

（1）求正方形 $\mathit{DFGI}$的边长；

（2）如图2，延长 $\mathit{AB}$至 $P$．使得 $\mathit{AC}=\mathit{CP}$，将矩形 $\mathit{EFGH}$沿 $\mathit{BP}$的方向向右平移，当点 $G$刚好落在 $\mathit{CP}$上时，试判断移动后的矩形与 $\mathit{\Delta CBP}$重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？

（3）如图3，连接 $\mathit{DG}$，将正方形 $\mathit{DFGI}$绕点 $D$顺时针旋转一定的角度得到正方形 $\mathit{DF}\text{'}G\text{'}I\text{'}$，正方形 $\mathit{DF}\text{'}G\text{'}I\text{'}$分别与线段 $\mathit{DG}$、 $\mathit{DB}$相交于点 $M$、 $N$，求 $\mathit{\Delta MNG}\text{'}$的周长．