初中数学三角形中位线定理解答题

如图，已知△ ABC中， D为 AB的中点．

（1）请用尺规作图法作边 AC的中点 E，并连接 DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，若 DE＝4，求 BC的长．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{CD}$切 $\odot O$于点 $C$，与 $\mathit{BA}$的延长线交于点 $D$， $\mathit{OE}\perp \mathit{AB}$交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{CA}$、 $\mathit{CE}$、 $\mathit{CB}$，过点 $A$作 $\mathit{AF}\perp \mathit{CE}$于点 $F$，延长 $\mathit{AF}$交 $\mathit{BC}$于点 $P$．

（1）求证： $\mathit{CA}=\mathit{CP}$；

（2）连接 $\mathit{OF}$，若 $\mathit{AC}=\sqrt{3}$， $\angle D=30°$，求线段 $\mathit{OF}$的长．

如图，在 $\odot O$ 中，点 $P$ 为 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 的中点，弦 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{PC}$ 互相垂直，垂足为 $M$ ， $\mathit{BC}$ 分别与 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{PD}$ 相交于点 $E$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{MN}$ ．

（1）求证： $N$ 为 $\mathit{BE}$ 的中点．

（2）若 $\odot O$ 的半径为8， $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 的度数为 $90°$ ，求线段 $\mathit{MN}$ 的长．

如图，已知：在中，，延长到点，使，点，分别是边，的中点．求证：．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}<\mathit{BC}$，点 $D$为 $\mathit{AB}$的中点，过点 $D$作 $\mathit{BC}$的垂线，垂足为点 $F$，过点 $A$、 $C$、 $D$作 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，连接 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{DF}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AC}=3$， $\mathit{BC}=9$，求 $\mathit{DE}$的长．

如图，以等边三角形 $\mathit{ABC}$ 的 $\mathit{BC}$ 边为直径画圆，交 $\mathit{AC}$ 于点 $D$ ， $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{OF}$ ，且 $\mathit{AF}=1$ ．

（1）求证： $\mathit{DF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）求线段 $\mathit{OF}$ 的长度．

在中，，，．以为边作周长为18的矩形，，分别为，的中点，连接．请你画出图形，并直接写出线段的长．

在中，，，，，分别是，，的中点，连接，．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）请用无刻度的直尺在图中作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．

性质探究

如图（1），在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为　　．

理解运用

（1）若顶角为的等腰三角形的周长为，则它的面积为　　；

（2）如图（2），在四边形中，，在边，上分别取中点，，连接．若，，求线段的长．

类比拓展

顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　．（用含的式子表示）

如图，在△ ABC中， BD、 CE分别是 AC、 AB上的中线， BD与 CE相交于点 O．

（1）利用尺规作图取线段 CO的中点．（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）猜想 CO与 OE的长度有什么关系，并说明理由．

性质探究

如图①，在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为　　．

理解运用

（1）若顶角为的等腰三角形的周长为，则它的面积为　　；

（2）如图②，在四边形中，．

①求证：；

②在边，上分别取中点，，连接．若，，直接写出线段的长．

类比拓展

顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为　　（用含的式子表示）．

如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是　　，位置关系是　　；

（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

如图1，在四边形 $\mathit{ABCD}$中，如果对角线 $\mathit{AC}$和 $\mathit{BD}$相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．

（1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，　    　一定是等角线四边形（填写图形名称）；

②若 $M$、 $N$、 $P$、 $Q$分别是等角线四边形 $\mathit{ABCD}$四边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DA}$的中点，当对角线 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$还要满足　　时，四边形 $\mathit{MNPQ}$是正方形．

（2）如图2，已知 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=3$， $D$为平面内一点．

①若四边形 $\mathit{ABCD}$是等角线四边形，且 $\mathit{AD}=\mathit{BD}$，则四边形 $\mathit{ABCD}$的面积是　 　；

②设点 $E$是以 $C$为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形 $\mathit{ABED}$是等角线四边形，写出四边形 $\mathit{ABED}$面积的最大值，并说明理由．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AD}$ 是 $\mathit{BC}$ 边上的中线，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，过 $D$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AC}$ 于点 $M$ ，交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $N$ ，过点 $B$ 作 $\mathit{BG}\perp \mathit{MN}$ 于 $G$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta BGD}\backsim \mathit{\Delta DMA}$ ；

（2）求证：直线 $\mathit{MN}$ 是 $\odot O$ 的切线．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=5$， $\mathit{CD}=4$，点 $E$是 $\mathit{BC}$边上的点， $\mathit{BE}=3$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ABE}\cong \mathit{\Delta DFA}$；

（2）连接 $\mathit{CF}$，求 $\sin \angle \mathit{DCF}$的值；

（3）连接 $\mathit{AC}$交 $\mathit{DF}$于点 $G$，求 $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{GC}}$的值．