初中数学平移的性质解答题

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$．线段 $\mathit{EF}$是由线段 $\mathit{AB}$平移得到的，点 $F$在边 $\mathit{BC}$上， $\mathit{\Delta EFD}$是以 $\mathit{EF}$为斜边的等腰直角三角形，且点 $D$恰好在 $\mathit{AC}$的延长线上．

（1）求证： $\angle \mathit{ADE}=\angle \mathit{DFC}$；

（2）求证： $\mathit{CD}=\mathit{BF}$．

在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 $\mathit{ABC}$和 $\mathit{DEF}$拼在一起，使点 $A$与点 $F$重合，点 $C$与点 $D$重合（如图 $1)$，其中 $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{DFE}=90°$， $\mathit{BC}=\mathit{EF}=3\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=\mathit{DF}=4\mathit{cm}$，并进行如下研究活动．

活动一：将图1中的纸片 $\mathit{DEF}$沿 $\mathit{AC}$方向平移，连结 $\mathit{AE}$， $\mathit{BD}$（如图 $2)$，当点 $F$与点 $C$重合时停止平移．

[思考]图2中的四边形 $\mathit{ABDE}$是平行四边形吗？请说明理由．

[发现]当纸片 $\mathit{DEF}$平移到某一位置时，小兵发现四边形 $\mathit{ABDE}$为矩形（如图 $3)$．求 $\mathit{AF}$的长．

活动二：在图3中，取 $\mathit{AD}$的中点 $O$，再将纸片 $\mathit{DEF}$绕点 $O$顺时针方向旋转 $\alpha$度 $(0⩽\alpha ⩽90)$，连结 $\mathit{OB}$， $\mathit{OE}$（如图 $4)$．

[探究]当 $\mathit{EF}$平分 $\angle \mathit{AEO}$时，探究 $\mathit{OF}$与 $\mathit{BD}$的数量关系，并说明理由．

在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{CG}\perp \mathit{BA}$交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $G$．

特例感知：

（1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为 $F$，一条直角边与 $\mathit{AC}$重合，另一条直角边恰好经过点 $B$．通过观察、测量 $\mathit{BF}$与 $\mathit{CG}$的长度，得到 $\mathit{BF}=\mathit{CG}$．请给予证明．

猜想论证：

（2）当三角尺沿 $\mathit{AC}$方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与 $\mathit{AC}$边重合，另一条直角边交 $\mathit{BC}$于点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{BA}$垂足为 $E$．此时请你通过观察、测量 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$的长度，猜想并写出 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$与 $\mathit{CG}$之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

联系拓展：

（3）当三角尺在图2的基础上沿 $\mathit{AC}$方向继续移动到图3所示的位置（点 $F$在线段 $\mathit{AC}$上，且点 $F$与点 $C$不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明）

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=-\frac{2}{3}x+4$的图象与 $x$轴和 $y$轴分别相交于 $A$、 $B$两点．动点 $P$从点 $A$出发，在线段 $\mathit{AO}$上以每秒3个单位长度的速度向点 $O$作匀速运动，到达点 $O$停止运动，点 $A$关于点 $P$的对称点为点 $Q$，以线段 $\mathit{PQ}$为边向上作正方形 $\mathit{PQMN}$．设运动时间为 $t$秒．

（1）当 $t=\frac{1}{3}$秒时，点 $Q$的坐标是　　；

（2）在运动过程中，设正方形 $\mathit{PQMN}$与 $\mathit{\Delta AOB}$重叠部分的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数表达式；

（3）若正方形 $\mathit{PQMN}$对角线的交点为 $T$，请直接写出在运动过程中 $\mathit{OT}+\mathit{PT}$的最小值．

对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点 $A$的斜平移，如点 $P(2,3)$经1次斜平移后的点的坐标为 $(3,5)$，已知点 $A$的坐标为 $(1,0)$．

（1）分别写出点 $A$经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．

（2）如图，点 $M$是直线 $l$上的一点，点 $A$关于点 $M$的对称点为点 $B$，点 $B$关于直线 $l$的对称点为点 $C$．

①若 $A$、 $B$、 $C$三点不在同一条直线上，判断 $\mathit{\Delta ABC}$是否是直角三角形？请说明理由．

②若点 $B$由点 $A$经 $n$次斜平移后得到，且点 $C$的坐标为 $(7,6)$，求出点 $B$的坐标及 $n$的值．

如图1，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{DH}\perp \mathit{AB}$于点 $H$， $\mathit{CD}$的垂直平分线交 $\mathit{CD}$于点 $E$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$， $\mathit{AB}=6$， $\mathit{DH}=4$， $\mathit{BF}:\mathit{FA}=1:5$．

（1）如图2，作 $\mathit{FG}\perp \mathit{AD}$于点 $G$，交 $\mathit{DH}$于点 $M$，将 $\mathit{\Delta DGM}$沿 $\mathit{DC}$方向平移，得到△ $\mathit{CG}\text{'}M\text{'}$，连接 $M\text{'}B$．

①求四边形 $\mathit{BHMM}\text{'}$的面积；

②直线 $\mathit{EF}$上有一动点 $N$，求 $\mathit{\Delta DNM}$周长的最小值．

（2）如图3，延长 $\mathit{CB}$交 $\mathit{EF}$于点 $Q$，过点 $Q$作 $\mathit{QK}//\mathit{AB}$，过 $\mathit{CD}$边上的动点 $P$作 $\mathit{PK}//\mathit{EF}$，并与 $\mathit{QK}$交于点 $K$，将 $\mathit{\Delta PKQ}$沿直线 $\mathit{PQ}$翻折，使点 $K$的对应点 $K\text{'}$恰好落在直线 $\mathit{AB}$上，求线段 $\mathit{CP}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$．将 $\mathit{\Delta ABC}$沿着 $\mathit{BC}$方向平移得到 $\mathit{\Delta DEF}$，其中点 $E$在边 $\mathit{BC}$上， $\mathit{DE}$与 $\mathit{AC}$相交于点 $O$．

（1）求证： $\mathit{\Delta OEC}$为等腰三角形；

（2）连接 $\mathit{AE}$、 $\mathit{DC}$、 $\mathit{AD}$，当点 $E$在什么位置时，四边形 $\mathit{AECD}$为矩形，并说明理由．

边长为6的等边 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$、 $E$分别在 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$边上， $\mathit{DE}//\mathit{AB}$， $\mathit{EC}=2\sqrt{3}$．

（1）如图1，将 $\mathit{\Delta DEC}$沿射线 $\mathit{EC}$方向平移，得到△ $D\text{'}E\text{'}C\text{'}$，边 $D\text{'}E\text{'}$与 $\mathit{AC}$的交点为 $M$，边 $C\text{'}D\text{'}$与 $\angle \mathit{ACC}\text{'}$的角平分线交于点 $N$，当 $\mathit{CC}\text{'}$多大时，四边形 $\mathit{MCND}\text{'}$为菱形？并说明理由．

（2）如图2，将 $\mathit{\Delta DEC}$绕点 $C$旋转 $\angle \alpha (0°<\alpha <360°)$，得到△ $D\text{'}E\text{'}C$，连接 $\mathit{AD}\text{'}$、 $\mathit{BE}\text{'}$．边 $D\text{'}E\text{'}$的中点为 $P$．

①在旋转过程中， $\mathit{AD}\text{'}$和 $\mathit{BE}\text{'}$有怎样的数量关系？并说明理由；

②连接 $\mathit{AP}$，当 $\mathit{AP}$最大时，求 $\mathit{AD}\text{'}$的值．（结果保留根号）

已知： $\text{Rt}\Delta \text{EFP}$和矩形 $\mathit{ABCD}$如图①摆放（点 $P$与点 $B$重合），点 $F$， $B\left(P\right)$， $C$在同一直线上， $\mathit{AB}=\mathit{EF}=6\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=\mathit{FP}=8\mathit{cm}$， $\angle \mathit{EFP}=90°$．如图②， $\mathit{\Delta EFP}$从图①的位置出发，沿 $\mathit{BC}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$， $\mathit{EP}$与 $\mathit{AB}$交于点 $G$；同时，点 $Q$从点 $C$出发，沿 $\mathit{CD}$方向匀速运动，速度为 $1\mathit{cm}/s$．过点 $Q$作 $\mathit{QM}\perp \mathit{BD}$，垂足为 $H$，交 $\mathit{AD}$于点 $M$，连接 $\mathit{AF}$， $\mathit{PQ}$，当点 $Q$停止运动时， $\mathit{\Delta EFP}$也停止运动．设运动时间为 $t\left(s\right)(0<t<6)$，解答下列问题：

（1）当 $t$为何值时， $\mathit{PQ}//\mathit{BD}$？

（2）设五边形 $\mathit{AFPQM}$的面积为 $y\left(c{m}^2\right)$，求 $y$与 $t$之间的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使 $S_{\mathit{五边形AFPQM}}:S_{\mathit{矩形ABCD}}=9:8$？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻 $t$，使点 $M$在线段 $\mathit{PG}$的垂直平分线上？若存在，求出 $t$的值；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+6$与 $x$轴交于点 $A(-2,0)$， $B(6,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，顶点为 $D$，直线 $\mathit{AD}$交 $y$轴于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）如图2，将 $\mathit{\Delta AOE}$沿直线 $\mathit{AD}$平移得到 $\mathit{\Delta NMP}$．

①当点 $M$落在抛物线上时，求点 $M$的坐标．

②在 $\mathit{\Delta NMP}$移动过程中，存在点 $M$使 $\mathit{\Delta MBD}$为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点 $M$的坐标．

我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表．

图形的变化	示例图形	与对应线段有关的结论	与对应点有关的结论
平移		（1）	$\mathit{AA}\text{'}=\mathit{BB}\text{'}$ $\mathit{AA}\text{'}//\mathit{BB}\text{'}$
轴对称		（2）	（3）
旋转		$\mathit{AB}=A\text{'}B\text{'}$；对应线段 $\mathit{AB}$和 $A\text{'}B\text{'}$所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补．	（4）

如图1，经过原点 $O$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a$、 $b$为常数， $a\ne 0)$与 $x$轴相交于另一点 $A(3,0)$．直线 $l:y=x$在第一象限内和此抛物线相交于点 $B(5,t)$，与抛物线的对称轴相交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$轴上找一点 $P$，使以点 $P$、 $O$、 $C$为顶点的三角形与以点 $A$、 $O$、 $B$为顶点的三角形相似，求满足条件的点 $P$的坐标；

（3）直线 $l$沿着 $x$轴向右平移得到直线 $l\text{'}$， $l\text{'}$与线段 $\mathit{OA}$相交于点 $M$，与 $x$轴下方的抛物线相交于点 $N$，过点 $N$作 $\mathit{NE}\perp x$轴于点 $E$．把 $\mathit{\Delta MEN}$沿直线 $l\text{'}$折叠，当点 $E\text{'}$恰好落在抛物线上时（图 $2)$，求直线 $l\text{'}$的解析式；

（4）在（3）问的条件下（图 $3)$，直线 $l\text{'}$与 $y$轴相交于点 $K$，把 $\mathit{\Delta MOK}$绕点 $O$顺时针旋转 $90°$得到△ $M\text{'}\mathit{OK}\text{'}$，点 $F$为直线 $l\text{'}$上的动点．当△ $M^{\text{'}}\mathit{FK}\text{'}$为等腰三角形时，求满足条件的点 $F$的坐标．

如图①，在△ABC中， $\angle \mathit{ACB}＝90°$， $\angle B＝30°$， $\mathit{AC}＝1$，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．

（1）计算矩形EFGH的面积；

（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{16}$时，求矩形平移的距离；

（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E₁F₁G₁H₁，将矩形E₁F₁G₁H₁绕G₁点按顺时针方向旋转，当H₁落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E₂F₂G₁H₂，设旋转角为α，求cosα的值．

如图，已知 A（6，0）， B（8，5），将线段 OA平移至 CB，点 D在 x轴正半轴上（不与点 A重合），连接 OC， AB， CD， BD．

（1）求对角线 AC的长；

（2）设点 D的坐标为（ x，0），△ ODC与△ ABD的面积分别记为 S ₁， S ₂．设 S＝ S ₁﹣ S ₂，写出 S关于 x的函数解析式，并探究是否存在点 D使 S与△ DBC的面积相等？如果存在，用坐标形式写出点 D的位置；如果不存在，说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数 $y=\frac{\text{k}}{\text{x}}$在第一象限内的图象交于点A（m，2），将直线y＝2x向下平移后与反比例函数 $y=\frac{\text{k}}{\text{x}}$在第一象限内的图象交于点P，且△POA的面积为2．

（1）求k的值．

（2）求平移后的直线的函数解析式．