初中数学解直角三角形的应用解答题

如图， 一座钢结构桥梁的框架是，水平横梁长 18 米， 中柱高 6 米， 其中是的中点， 且．

（1） 求的值；

（2） 现需要加装支架、，其中点在上，，且，垂足为点，求支架的长 ．

某游乐场部分平面图如图所示， $C$、 $E$、 $A$在同一直线上， $D$、 $E$、 $B$在同一直线上，测得 $A$处与 $E$处的距离为80 米， $C$处与 $D$处的距离为34米， $\angle C=90°$， $\angle \mathit{ABE}=90°$， $\angle \mathit{BAE}=30°$． $(\sqrt{2}\approx 1.4$， $\sqrt{3}\approx 1.7)$

（1）求旋转木马 $E$处到出口 $B$处的距离；

（2）求海洋球 $D$处到出口 $B$处的距离（结果保留整数）．

图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．（结果精确到．

（1）如图2，，．

①填空：　　．

②求投影探头的端点到桌面的距离．

（2）如图3，将（1）中的向下旋转，当投影探头的端点到桌面的距离为时，求的大小．

（参考数据：，，，

如图，1号楼在2号楼的南侧，两楼高度均为 $90m$，楼间距为 $\mathit{AB}$．冬至日正午，太阳光线与水平面所成的角为 $32.3°$，1号楼在2号楼墙面上的影高为 $\mathit{CA}$；春分日正午，太阳光线与水平面所成的角为 $55.7°$，1号楼在2号楼墙面上的影高为 $\mathit{DA}$．已知 $\mathit{CD}=42m$．

（1）求楼间距 $\mathit{AB}$；

（2）若2号楼共30层，层高均为 $3m$，则点 $C$位于第几层？（参考数据： $\sin 32.3°\approx 0.53$， $\cos 32.3°\approx 0.85$， $\tan 32.3°\approx 0.63$， $\sin 55.7°\approx 0.83$， $\cos 55.7°\approx 0.56$， $\tan 55.7°\approx 1.47)$

2018年5月13日清晨，我国第一艘自主研制的型航空母舰从大连造船厂码头启航，赴相关海域执行海上试验任务已知舰长约，航母前端点到水平甲板的距离为，舰岛顶端到的距离是，经测量，，，请计算舰岛的高度．（结果精确到，参考数据：，，，，，

某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面 $A$、 $B$两处均探测出建筑物下方 $C$处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是 $25°$和 $60°$，且 $\mathit{AB}=4$米，求该生命迹象所在位置 $C$的深度．（结果精确到1米，参考数据： $\sin 25°\approx 0.4$， $\cos 25°\approx 0.9$， $\tan 25°\approx 0.5$， $\sqrt{3}\approx 1.7)$

如图，小明在笔直的河岸上的点处，以正对岸明显的标志点为参照点，设计出两种测量河宽的方案，绘制了相应的示意图，并用测角仪、卷尺及标杆测得一些数据如下：

（1）请你选择一种方案，结合示意图，简述测量过程；

（2）按照你选定的方案，求河宽．（参考数据：，

如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图， $\mathit{OA}$ 是支撑臂， $\mathit{OB}$ 是旋转臂，使用时，以点 $A$ 为支撑点，铅笔芯端点 $B$ 可绕点 $A$ 旋转作出圆．已知 $\mathit{OA}=\mathit{OB}=10\mathit{cm}$ ．

（1）当 $\angle \mathit{AOB}=18°$ 时，求所作圆的半径；（结果精确到 $0.01\mathit{cm})$

（2）保持 $\angle \mathit{AOB}=18°$ 不变，在旋转臂 $\mathit{OB}$ 末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到 $0.01\mathit{cm})$

（参考数据： $\sin 9°\approx 0.1564$ ， $\cos 9°\approx 0.9877$ ， $\sin 18°\approx 0.3090$ ， $\cos 18°\approx 0.9511$ ，可使用科学计算器）

筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为6米，，若点为运行轨道的最高点，的连线垂直于，求点到弦所在直线的距离．

（参考数据：，，

我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $\mathit{AP}$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $\angle \mathit{BAC}$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，从而保证伞圈 $D$ 能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈 $D$ 已滑动到点 $D^{\text{'}}$ 的位置，且 $A$ ， $B$ ， $D\text{'}$ 三点共线， $\mathit{AD}\text{'}=40\mathit{cm}$ ， $B$ 为 $\mathit{AD}\text{'}$ 中点．当 $\angle \mathit{BAC}=140°$ 时，伞完全张开．

（1）求 $\mathit{AB}$ 的长．

（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈 $D$ 沿着伞柄向下滑动的距离．

（参考数据： $\sin 70°\approx 0.94$ ， $\cos 70°\approx 0.34$ ， $\tan 70°\approx 2.75)$

一座吊桥的钢索立柱 $\mathit{AD}$ 两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索 $\mathit{AB}$ 的长度．他们测得 $\angle \mathit{ABD}$ 为 $30°$ ，由于 $B$ 、 $D$ 两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现 $\angle \mathit{ACD}$ 恰好为 $45°$ ，点 $B$ 与点 $C$ 之间的距离约为 $16m$ ．已知 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 共线， $\mathit{AD}\perp \mathit{BD}$ ．求钢索 $\mathit{AB}$ 的长度．（结果保留根号）

如图，为了测量河对岸两点 $A$ ， $B$ 之间的距离，在河岸这边取点 $C$ ， $D$ ．测得 $\mathit{CD}=80m$ ， $\angle \mathit{ACD}=90°$ ， $\angle \mathit{BCD}=45°$ ， $\angle \mathit{ADC}=19°17\text{'}$ ， $\angle \mathit{BDC}=56°19\text{'}$ ．设 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一平面内，求 $A$ ， $B$ 两点之间的距离．

（参考数据： $\tan 19°17\text{'}\approx 0.35$ ， $\tan 56°19\text{'}\approx 1.50$ ． $)$

如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长 $\mathit{AB}=120\mathit{mm}$，支撑板长 $\mathit{CD}=80\mathit{mm}$，底座长 $\mathit{DE}=90\mathit{mm}$．托板 $\mathit{AB}$固定在支撑板顶端点 $C$处，且 $\mathit{CB}=40\mathit{mm}$，托板 $\mathit{AB}$可绕点 $C$转动，支撑板 $\mathit{CD}$可绕点 $D$转动．（结果保留小数点后一位）

（1）若 $\angle \mathit{DCB}=80°$， $\angle \mathit{CDE}=60°$，求点 $A$到直线 $\mathit{DE}$的距离；

（2）为了观看舒适，在（1）的情况下，把 $\mathit{AB}$绕点 $C$逆时针旋转 $10°$后，再将 $\mathit{CD}$绕点 $D$顺时针旋转，使点 $B$落在直线 $\mathit{DE}$上即可，求 $\mathit{CD}$旋转的角度．（参考数据： $\sin 40°\approx 0.643$， $\cos 40°\approx 0.766$， $\tan 40°\approx 0.839$， $\sin 26.6°\approx 0.448$， $\cos 26.6°\approx 0.894$， $\tan 26.6°\approx 0.500$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管 $\mathit{AB}$与支架 $\mathit{CD}$所在直线相交于点 $O$，且 $\mathit{OB}=\mathit{OD}$，支架 $\mathit{CD}$与水平线 $\mathit{AE}$垂直， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{CDE}=30°$， $\mathit{DE}=80\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=165\mathit{cm}$．

（1）求支架 $\mathit{CD}$的长；

（2）求真空热水管 $\mathit{AB}$的长．（结果保留根号）

图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖可以绕点逆时针方向旋转，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2所示）．已知厘米，厘米，厘米．

（1）求点到的距离；

（2）求、两点的距离．