初中数学解直角三角形的应用试题

图1是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关．图2是其俯视简化示意图，已知轨道 $\mathit{AB}=120\mathit{cm}$，两扇活页门的宽 $\mathit{OC}=\mathit{OB}=60\mathit{cm}$，点 $B$固定，当点 $C$在 $\mathit{AB}$上左右运动时， $\mathit{OC}$与 $\mathit{OB}$的长度不变．（所有的结果保留小数点后一位）

（1）若 $\angle \mathit{OBC}=50°$，求 $\mathit{AC}$的长；

（2）当点 $C$从点 $A$向右运动 $60\mathit{cm}$时，求点 $O$在此过程中运动的路径长．

参考数据： $\sin 50°\approx 0.77$． $\cos 50°\approx 0.64$， $\tan 50°\approx 1.19$， $\pi$取3.14．

某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面 $A$、 $B$两处均探测出建筑物下方 $C$处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是 $25°$和 $60°$，且 $\mathit{AB}=4$米，求该生命迹象所在位置 $C$的深度．（结果精确到1米，参考数据： $\sin 25°\approx 0.4$， $\cos 25°\approx 0.9$， $\tan 25°\approx 0.5$， $\sqrt{3}\approx 1.7)$

如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在 $C$ 处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的 $A$ 处驶来，已知 $\mathit{CM}=3m$ ， $\mathit{CO}=5m$ ， $\mathit{DO}=3m$ ， $\angle \mathit{AOD}=70°$ ，汽车从 $A$ 处前行多少米才能发现 $C$ 处的儿童（结果保留整数）？

（参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$ ， $\cos 37°\approx 0.80$ ， $\tan 37°\approx 0.75$ ； $\sin 70°\approx 0.94$ ， $\cos 70°\approx 0.34$ ， $\tan 70°\approx 2.75)$

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $D$为 $\mathit{BC}$上一点， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{BD}=1$， $\tan B=\frac{3}{4}$．

（1）求 $\mathit{AD}$的长；

（2）求 $\sin \alpha$的值．

如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨 $\mathit{MN}$安装在窗框上，托悬臂 $\mathit{DE}$安装在窗扇上，交点 $A$处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点 $B$， $C$， $D$始终在一直线上，延长 $\mathit{DE}$交 $\mathit{MN}$于点 $F$．已知 $\mathit{AC}=\mathit{DE}=20\mathit{cm}$， $\mathit{AE}=\mathit{CD}=10\mathit{cm}$， $\mathit{BD}=40\mathit{cm}$．

（1）窗扇完全打开，张角 $\angle \mathit{CAB}=85°$，求此时窗扇与窗框的夹角 $\angle \mathit{DFB}$的度数；

（2）窗扇部分打开，张角 $\angle \mathit{CAB}=60°$，求此时点 $A$， $B$之间的距离（精确到 $0.1\mathit{cm})$．

（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.732$， $\sqrt{6}\approx 2.449)$

某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳 $\mathit{OB}$的长为 $3m$，静止时，踏板到地面距离 $\mathit{BD}$的长为 $0.6m$（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为 $\mathit{hm}$，成人的“安全高度”为 $2m$（计算结果精确到 $0.1m)$

（1）当摆绳 $\mathit{OA}$与 $\mathit{OB}$成 $45°$夹角时，恰为儿童的安全高度，则 $h=$　　 $m$

（2）某成人在玩秋千时，摆绳 $\mathit{OC}$与 $\mathit{OB}$的最大夹角为 $55°$，问此人是否安全？（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sin 55°\approx 0.82$， $\cos 55°\approx 0.57$， $\tan 55°\approx 1.43)$

如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 $\mathit{OB}$与墙 $\mathit{MN}$平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽 $\mathit{AO}$为1.2米，当车门打开角度 $\angle \mathit{AOB}$为 $40°$时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据： $\sin 40°\approx 0.64$； $\cos 40°\approx 0.77$； $\tan 40°\approx 0.84)$

阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\overline{+}\tan \alpha \tan \beta }$

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．

例： $\tan 75°=\tan (45°+30°)=\frac{\tan 45°+\tan 30°}{1-\tan 45°\tan 30°}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1\times \frac{\sqrt{3}}{3}}=2+\sqrt{3}$

根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题

（1）计算： $\sin 15°$；

（2）某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的 $C$处，在 $D$点测得纪念碑碑顶的仰角为 $75°$， $\mathit{DC}$为 $\sqrt{3}$米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．

汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路 $l$，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米 $/$小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在 $l$上确定 $A$， $B$两点，并在 $\mathit{AB}$路段进行区间测速．在 $l$外取一点 $P$，作 $\mathit{PC}\perp l$，垂足为点 $C$．测得 $\mathit{PC}=30$米， $\angle \mathit{APC}=71°$， $\angle \mathit{BPC}=35°$．上午9时测得一汽车从点 $A$到点 $B$用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据： $\sin 35°\approx 0.57$， $\cos 35°\approx 0.82$， $\tan 35°\approx 0.70$， $\sin 71°\approx 0.95$， $\cos 71°\approx 0.33$， $\tan 71°\approx 2.90)$

某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：

问题提出：

如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．

方案设计：

如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面 $\mathit{AC}$的遮阳蓬 $\mathit{CD}$．

数据收集：

通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线 $\mathit{DA}$与遮阳蓬 $\mathit{CD}$的夹角 $\angle \mathit{ADC}$最大 $(\angle \mathit{ADC}=77.44°)$；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线 $\mathit{DB}$与遮阳蓬 $\mathit{CD}$的夹角 $\angle \mathit{BDC}$最小 $(\angle \mathit{BDC}=30.56°)$．窗户的高度 $\mathit{AB}=2m$．

问题解决：

根据上述方案及数据，求遮阳蓬 $\mathit{CD}$的长．

（结果精确到 $0.1m$，参考数据： $\sin 30.56°\approx 0.51$， $\cos 30.56°\approx 0.86$， $\tan 30.56°\approx 0.59$， $\sin 77.44°\approx 0.98$， $\cos 77.44°\approx 0.22$， $\tan 77.44°\approx 4.49)$

图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂 $\mathit{AC}=40\mathit{cm}$，灯罩 $\mathit{CD}=30\mathit{cm}$，灯臂与底座构成的 $\angle \mathit{CAB}=60°$． $\mathit{CD}$可以绕点 $C$上下调节一定的角度．使用发现：当 $\mathit{CD}$与水平线所成的角为 $30°$时，台灯光线最佳．现测得点 $D$到桌面的距离为 $49.6\mathit{cm}$．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据： $\sqrt{3}$取 $1.73)$．

“ $C919$”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中 $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AM}//\mathit{BN}//\mathit{ED}$， $\mathit{AE}\perp \mathit{DE}$，请根据图中数据，求出线段 $\mathit{BE}$和 $\mathit{CD}$的长． $(\sin 37°\approx 0.60$， $\cos 37°\approx 0.80$， $\tan 37°\approx 0.75$，结果保留小数点后一位）

据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过 $15m/s$，在一条笔直公路 $\mathit{BD}$的上方 $A$处有一探测仪，如平面几何图， $\mathit{AD}=24m$， $\angle D=90°$，第一次探测到一辆轿车从 $B$点匀速向 $D$点行驶，测得 $\angle \mathit{ABD}=31°$，2秒后到达 $C$点，测得 $\angle \mathit{ACD}=50°(\tan 31°\approx 0.6$， $\tan 50°\approx 1.2$，结果精确到 $1m)$

（1）求 $B$， $C$的距离．

（2）通过计算，判断此轿车是否超速．

图1是第七届国际数学教育大会 $\left(\mathit{ICME}\right)$ 会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $\mathit{OABC}$ ．若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1$ ， $\angle \mathit{AOB}=\alpha$ ，则 $O{C}^2$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+1$

B．

${\sin }^2\alpha +1$

C．

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+1$

D．

${\cos }^2\alpha +1$

为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．

名称	红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数	探测最大角： $\angle \mathit{OBC}＝73.14°$
	探测最小角： $\angle \mathit{OAC}＝30.97°$
安装要求	本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上

根据以上内容，解决问题：

学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．

（结果精确到0.1m，参考数据： $\mathit{sin}73.14°\approx 0.957，\mathit{cos}73.14°\approx 0.290$，t $\mathit{an}73.14°\approx 3.300$， $\mathit{sin}30.97°\approx 0.515$， $\mathit{cos}30.97°\approx 0.857$， $\text{t}\mathit{an}30.97°\approx 0.600$）