初中数学解直角三角形的应用试题

如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨 $\mathit{MN}$安装在窗框上，托悬臂 $\mathit{DE}$安装在窗扇上，交点 $A$处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点 $B$， $C$， $D$始终在一直线上，延长 $\mathit{DE}$交 $\mathit{MN}$于点 $F$．已知 $\mathit{AC}=\mathit{DE}=20\mathit{cm}$， $\mathit{AE}=\mathit{CD}=10\mathit{cm}$， $\mathit{BD}=40\mathit{cm}$．

（1）窗扇完全打开，张角 $\angle \mathit{CAB}=85°$，求此时窗扇与窗框的夹角 $\angle \mathit{DFB}$的度数；

（2）窗扇部分打开，张角 $\angle \mathit{CAB}=60°$，求此时点 $A$， $B$之间的距离（精确到 $0.1\mathit{cm})$．

（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.732$， $\sqrt{6}\approx 2.449)$

某工程队准备从 $A$到 $B$修建一条隧道，测量员在直线 $\mathit{AB}$的同一侧选定 $C$， $D$两个观测点，如图．测得 $\mathit{AC}$长为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}\mathit{km}$， $\mathit{CD}$长为 $\frac{3}{4}(\sqrt{2}+\sqrt{6})\mathit{km}$， $\mathit{BD}$长为 $\frac{3}{2}\mathit{km}$， $\angle \mathit{ACD}=60°$， $\angle \mathit{CDB}=135°(A$、 $B$、 $C$、 $D$在同一水平面内）．

（1）求 $A$、 $D$两点之间的距离；

（2）求隧道 $\mathit{AB}$的长度．

如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 $\mathit{OB}$与墙 $\mathit{MN}$平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽 $\mathit{AO}$为1.2米，当车门打开角度 $\angle \mathit{AOB}$为 $40°$时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据： $\sin 40°\approx 0.64$； $\cos 40°\approx 0.77$； $\tan 40°\approx 0.84)$

如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度 $\mathit{AD}=2$ 米，且两扇门的大小相同（即 $\mathit{AB}=\mathit{CD})$ ，将左边的门 $\mathit{AB}{B}_1{A}_1$ 绕门轴 $A{A}_1$ 向里面旋转 $35°$ ，将右边的门 $\mathit{CD}{D}_1{C}_1$ 绕门轴 $D{D}_1$ 向外面旋转 $45°$ ，其示意图如图2，求此时 $B$ 与 $C$ 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据： $\sin 35°\approx 0.6$ ， $\cos 35°\approx 0.8$ ， $\sqrt{2}\approx 1.4)$

汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路 $l$，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米 $/$小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在 $l$上确定 $A$， $B$两点，并在 $\mathit{AB}$路段进行区间测速．在 $l$外取一点 $P$，作 $\mathit{PC}\perp l$，垂足为点 $C$．测得 $\mathit{PC}=30$米， $\angle \mathit{APC}=71°$， $\angle \mathit{BPC}=35°$．上午9时测得一汽车从点 $A$到点 $B$用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据： $\sin 35°\approx 0.57$， $\cos 35°\approx 0.82$， $\tan 35°\approx 0.70$， $\sin 71°\approx 0.95$， $\cos 71°\approx 0.33$， $\tan 71°\approx 2.90)$

保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过 $30\mathit{cm}$，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛 $B$，肘关节 $C$和笔端 $A$的位置关系抽象成图2的 $\mathit{\Delta ABC}$，已知 $\mathit{BC}=30\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=22\mathit{cm}$， $\angle \mathit{ACB}=53°$，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．（参考数据： $\sin 53°\approx 0.8$， $\cos 53°\approx 0.6$， $\tan 53°\approx 1.3)$

图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄 AB与地面 DE平行，踏板 CD长为1.5 m， CD与地面 DE的夹角 $\angle \mathit{CDE}＝15°$ ，支架 AC长为1 m， $\angle \mathit{ACD}＝75°$ ，求跑步机手柄 AB所在直线与地面 DE之间的距离．（结果精确到0.1 m．参考数据： $\mathit{sin}15°\approx 0.26$ ， $\mathit{cos}15°\approx 0.97$ ， $\mathit{tan}15°\approx 0.27$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73$ ）

太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面 $\mathit{\Delta ABC}$如图2所示， $\mathit{BC}=10$米， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}=36°$，改建后顶点 $D$在 $\mathit{BA}$的延长线上，且 $\angle \mathit{BDC}=90°$，求改建后南屋面边沿增加部分 $\mathit{AD}$的长．（结果精确到0.1米）

（参考数据： $\sin 18°\approx 0.31$， $\cos 18°\approx 0.95$． $\tan 18°\approx 0.32$， $\sin 36°\approx 0.59$． $\cos 36°\approx 0.81$， $\tan 36°\approx 0.73)$

拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为 $l$ ，底座 $\mathit{AB}$ 固定，高 $\mathit{AB}$ 为 $50\mathit{cm}$ ，连杆 $\mathit{BC}$ 长度为 $70\mathit{cm}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ 长度为 $60\mathit{cm}$ ．点 $B$ ， $C$ 是转动点，且 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{CD}$ 始终在同一平面内．

（1）转动连杆 $\mathit{BC}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ ，使 $\angle \mathit{ABC}=143°$ ， $\mathit{CD}//l$ ，如图2，求手臂端点 $D$ 离操作台 $l$ 的高度 $\mathit{DE}$ 的长（精确到 $1\mathit{cm}$ ，参考数据： $\sin 53°\approx 0.8$ ， $\cos 53°\approx 0.6)$ ．

（2）物品在操作台 $l$ 上，距离底座 $A$ 端 $110\mathit{cm}$ 的点 $M$ 处，转动连杆 $\mathit{BC}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ ，手臂端点 $D$ 能否碰到点 $M$ ？请说明理由．

某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由 $45°$调为 $30°$，如图，已知原滑滑板 $\mathit{AB}$的长为4米，点 $D$， $B$， $C$在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732$， $\sqrt{6}\approx 2.449)$

宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$都与地面 $l$平行，车轮半径为 $32\mathit{cm}$， $\angle \mathit{BCD}=64°$， $\mathit{BC}=60\mathit{cm}$，坐垫 $E$与点 $B$的距离 $\mathit{BE}$为 $15\mathit{cm}$．

（1）求坐垫 $E$到地面的距离；

（2）根据经验，当坐垫 $E$到 $\mathit{CD}$的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为 $80\mathit{cm}$，现将坐垫 $E$调整至坐骑舒适高度位置 $E^{\text{'}}$，求 $\mathit{EE}\text{'}$的长．

（结果精确到 $0.1\mathit{cm}$，参考数据： $\sin 64°\approx 0.90$， $\cos 64°\approx 0.44$， $\tan 64°\approx 2.05)$

如图，为了测量某条河的对岸边 $C$， $D$两点间的距离．在河的岸边与 $\mathit{CD}$平行的直线 $\mathit{EF}$上取两点 $A$， $B$，测得 $\angle \mathit{BAC}=45°$， $\angle \mathit{ABC}=37°$， $\angle \mathit{DBF}=60°$，量得 $\mathit{AB}$长为70米．求 $C$， $D$两点间的距离（参考数据： $\sin 37°\approx \frac{3}{5}$， $\cos 37°\approx \frac{4}{5}$， $\tan 37°\approx \frac{3}{4})$．

随州市新水一桥（如图1）设计灵感来源于市花 $--$兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔 $\mathit{AB}$和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索 $\mathit{DE}$和最长的斜拉索 $\mathit{AC}$）均在同一水平面内， $\mathit{BC}$在水平桥面上．已知 $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{DEB}=45°$， $\angle \mathit{ACB}=30°$， $\mathit{BE}=6$米， $\mathit{AB}=5\mathit{BD}$．

（1）求最短的斜拉索 $\mathit{DE}$的长；

（2）求最长的斜拉索 $\mathit{AC}$的长．

如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点 $A$，又在河的另一岸边取两点 $B$、 $C$测得 $\angle \alpha =30°$， $\angle \beta =45°$，量得 $\mathit{BC}$长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．

图1是第七届国际数学教育大会 $\left(\mathit{ICME}\right)$ 会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $\mathit{OABC}$ ．若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1$ ， $\angle \mathit{AOB}=\alpha$ ，则 $O{C}^2$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+1$

B．

${\sin }^2\alpha +1$

C．

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+1$

D．

${\cos }^2\alpha +1$