初中数学解直角三角形的应用试题

如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面 $A$， $B$两个探测点探测到地下 $C$处有生命迹象．已知 $A$， $B$两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是 $30°$和 $45°$，试确定生命所在点 $C$的深度（结果保留根号）．

图1是疫情期间测温员用"额温枪"对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄 $\mathit{BC}$ 与手臂 $\mathit{MC}$ 始终在同一直线上，枪身 $\mathit{BA}$ 与额头保持垂直．量得胳膊 $\mathit{MN}=28\mathit{cm}$ ， $\mathit{MB}=42\mathit{cm}$ ，肘关节 $M$ 与枪身端点 $A$ 之间的水平宽度为 $25.3\mathit{cm}$ （即 $\mathit{MP}$ 的长度），枪身 $\mathit{BA}=8.5\mathit{cm}$ ．

（1）求 $\angle \mathit{ABC}$ 的度数；

（2）测温时规定枪身端点 $A$ 与额头距离范围为 $3~5\mathit{cm}$ ．在图2中，若测得 $\angle \mathit{BMN}=68.6°$ ，小红与测温员之间距离为 $50\mathit{cm}$ ．问此时枪身端点 $A$ 与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）

（参考数据： $\sin 66.4°\approx 0.92$ ， $\cos 66.4°\approx 0.40$ ， $\sin 23.6°\approx 0.40$ ， $\sqrt{2}\approx 1.414)$

如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米（假设拉线是直的），且拉线与水平地面的夹角为 $60°$，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是　         　米（结果保留根号）．

今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．

（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：

测量对象	男性 $(18~60$岁）				女性 $(18~55$岁）
抽样人数（人 $)$	2000	5000	20000	2000		5000	20000
平均身高（厘米）	173	175	176	164		165	164

根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用　176　厘米，女性应采用　　厘米；

（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点 $P$距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$的连接点 $A$处， $A$点距地面110厘米．臂杆落下时两端点 $B$， $C$在同一水平线上， $\mathit{BC}=100$厘米，点 $C$在点 $P$的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．

（参考数据表）

计算器按键顺序	计算结果（近似值）	计算器按键顺序	计算结果（近似值）
	0.1		78.7
	0.2		84.3
	1.7		5.7
	3.5		11.3

2021年，达州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为 $30°$的河床斜坡边，斜坡 $\mathit{BC}$长为48米，在点 $D$处测得桥墩最高点 $A$的仰角为 $35°$， $\mathit{CD}$平行于水平线 $\mathit{BM}$， $\mathit{CD}$长为 $16\sqrt{3}$米，求桥墩 $\mathit{AB}$的高（结果保留1位小数）． $(\sin 35°\approx 0.57$， $\cos 35°\approx 0.82$， $\tan 35°\approx 0.70$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，有一个三角形的钢架 $\mathit{ABC}$， $\angle A=30°$， $\angle C=45°$， $\mathit{AC}=2(\sqrt{3}+1)m$．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为 $2.1m$的圆形门？

如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块 $E$， $H$可分别沿等长的立柱 $\mathit{AB}$， $\mathit{DC}$上下移动， $\mathit{AF}=\mathit{EF}=\mathit{FG}=1m$．

（1）若移动滑块使 $\mathit{AE}=\mathit{EF}$，求 $\angle \mathit{AFE}$的度数和棚宽 $\mathit{BC}$的长．

（2）当 $\angle \mathit{AFE}$由 $60°$变为 $74°$时，问棚宽 $\mathit{BC}$是增加还是减少？增加或减少了多少？

（结果精确到 $0.1m$，参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sin 37°\approx 0.60$， $\cos 37°\approx 0.80$， $\tan 37°\approx 0.75)$

把直尺、三角尺和圆形螺母按如图所示放置于桌面上， $\angle \mathit{CAB}=60°$，若量出 $\mathit{AD}=6\mathit{cm}$，则圆形螺母的外直径是 $($　　 $)$

A． $12\mathit{cm}$B． $24\mathit{cm}$C． $6\sqrt{3}\mathit{cm}$D． $12\sqrt{3}\mathit{cm}$

汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速．如图，学校附近有一条笔直的公路 $l$，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米 $/$小时．数学实践活动小组设计了如下活动：在 $l$上确定 $A$， $B$两点，并在 $\mathit{AB}$路段进行区间测速．在 $l$外取一点 $P$，作 $\mathit{PC}\perp l$，垂足为点 $C$．测得 $\mathit{PC}=30$米， $\angle \mathit{APC}=71°$， $\angle \mathit{BPC}=35°$．上午9时测得一汽车从点 $A$到点 $B$用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据： $\sin 35°\approx 0.57$， $\cos 35°\approx 0.82$， $\tan 35°\approx 0.70$， $\sin 71°\approx 0.95$， $\cos 71°\approx 0.33$， $\tan 71°\approx 2.90)$

如图1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成如图2位置，刀片部分是四边形 $\mathit{ABCD}$，其中 $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{CD}=15\mathit{mm}$， $\angle C=53°$，刀鞘的边缘 $\mathit{MN}//\mathit{PQ}$，刀刃 $\mathit{BC}$与刀鞘边缘 $\mathit{PQ}$相交于点 $O$，点 $A$恰好落在刀鞘另一边缘 $\mathit{MN}$上时， $\angle \mathit{COP}=37°$， $\mathit{OC}=50\mathit{mm}$，

（1）求刀片宽度 $h$．

（2）若刀鞘宽度为 $14\mathit{mm}$，求刀刃 $\mathit{BC}$的长度．（结果精确到 $0.1\mathit{mm})$（参考数据： $\sin 37°\approx \frac{3}{5}$， $\cos 37°\approx \frac{4}{5}$， $\tan 37°\approx \frac{3}{4})$

某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图2，某一时刻，旗杆 $\mathit{AB}$的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长 $\mathit{BC}$为4米，落在斜坡上的影长 $\mathit{CD}$为3米， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$，同一时刻，光线与水平面的夹角为 $72°$，1米的竖立标杆 $\mathit{PQ}$在斜坡上的影长 $\mathit{QR}$为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据： $\sin 72°\approx 0.95$， $\cos 72°\approx 0.31$， $\tan 72°\approx 3.08)$

如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台 $C$，在岸边搭建了三个看台 $A$， $B$， $D$，其中 $A$， $C$， $D$三点在同一条直线上，看台 $A$， $B$到舞台 $C$的距离相等，测得 $\angle A=30°$， $\angle D=45°$， $\mathit{AB}=60m$，小明、小丽分别在 $B$， $D$看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台 $C$的距离．（结果保留根号）

如图，一棵与地面垂直的笔直大树 $\mathit{AB}$，在点 $C$被大风折断后， $\mathit{AC}$部分倒下，树的顶点 $A$与斜坡 $\mathit{DF}$上的点 $G$重合 $(\mathit{BC}$， $\mathit{CG}$都保持笔直），经测量 $\mathit{DG}=2m$， $\mathit{BD}=3m$， $\angle \mathit{EDF}=30°$， $\angle \mathit{BCG}=60°$，求 $\mathit{CG}$的长． $(\sqrt{3}\approx 1.73$，精确到 $0.1m)$

图1是第七届国际数学教育大会 $\left(\mathit{ICME}\right)$ 会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $\mathit{OABC}$ ．若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1$ ， $\angle \mathit{AOB}=\alpha$ ，则 $O{C}^2$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+1$

B．

${\sin }^2\alpha +1$

C．

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+1$

D．

${\cos }^2\alpha +1$

为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．

名称	红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数	探测最大角： $\angle \mathit{OBC}＝73.14°$
	探测最小角： $\angle \mathit{OAC}＝30.97°$
安装要求	本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上

根据以上内容，解决问题：

学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．

（结果精确到0.1m，参考数据： $\mathit{sin}73.14°\approx 0.957，\mathit{cos}73.14°\approx 0.290$，t $\mathit{an}73.14°\approx 3.300$， $\mathit{sin}30.97°\approx 0.515$， $\mathit{cos}30.97°\approx 0.857$， $\text{t}\mathit{an}30.97°\approx 0.600$）