初中数学解直角三角形的应用试题

某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校"综合与实践"活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得 $\mathit{AB}=100\mathit{cm}$ ， $\mathit{BC}=80\mathit{cm}$ ， $\angle \mathit{ABC}=120°$ ， $\angle \mathit{BCD}=75°$ ，四边形 $\mathit{DEFG}$ 为矩形，且 $\mathit{DE}=5\mathit{cm}$ ．请帮助该小组求出指示牌最高点 $A$ 到地面 $\mathit{EF}$ 的距离（结果精确到 $0.1\mathit{cm}$ ．参考数据： $\sin 75°\approx 0.97$ ， $\cos 75°\approx 0.26$ ， $\tan 75°\approx 3.73$ ， $\sqrt{2}\approx 1.41)$ ．

一酒精消毒瓶如图1， $\mathit{AB}$ 为喷嘴， $\mathit{\Delta BCD}$ 为按压柄， $\mathit{CE}$ 为伸缩连杆， $\mathit{BE}$ 和 $\mathit{EF}$ 为导管，其示意图如图2， $\angle \mathit{DBE}=\angle \mathit{BEF}=108°$ ， $\mathit{BD}=6\mathit{cm}$ ， $\mathit{BE}=4\mathit{cm}$ ．当按压柄 $\mathit{\Delta BCD}$ 按压到底时， $\mathit{BD}$ 转动到 $\mathit{BD}\text{'}$ ，此时 $\mathit{BD}\text{'}//\mathit{EF}$ （如图 $3)$ ．

（1）求点 $D$ 转动到点 $D\text{'}$ 的路径长；

（2）求点 $D$ 到直线 $\mathit{EF}$ 的距离（结果精确到 $0.1\mathit{cm})$ ．

（参考数据： $\sin 36°\approx 0.59$ ， $\cos 36°\approx 0.81$ ， $\tan 36°\approx 0.73$ ， $\sin 72°\approx 0.95$ ， $\cos 72°\approx 0.31$ ， $\tan 72°\approx 3.08)$

如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度 $\mathit{AD}=2$ 米，且两扇门的大小相同（即 $\mathit{AB}=\mathit{CD})$ ，将左边的门 $\mathit{AB}{B}_1{A}_1$ 绕门轴 $A{A}_1$ 向里面旋转 $35°$ ，将右边的门 $\mathit{CD}{D}_1{C}_1$ 绕门轴 $D{D}_1$ 向外面旋转 $45°$ ，其示意图如图2，求此时 $B$ 与 $C$ 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据： $\sin 35°\approx 0.6$ ， $\cos 35°\approx 0.8$ ， $\sqrt{2}\approx 1.4)$

已知锐角 $\mathit{\Delta ABC}$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，边角总满足关系式： $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ ．

（1）如图1，若 $a=6$ ， $\angle B=45°$ ， $\angle C=75°$ ，求 $b$ 的值；

（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池 $\mathit{ABC}$ 中建一座小型景观桥 $\mathit{CD}$ （如图2所示），若 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}=14$ 米， $\mathit{AB}=10$ 米， $\sin \angle \mathit{ACB}=\frac{5\sqrt{3}}{14}$ ，求景观桥 $\mathit{CD}$ 的长度．

图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆 $\mathit{AB}$ 垂直于地面 $l$ ，活动杆 $\mathit{CD}$ 固定在支撑杆上的点 $E$ 处．若 $\angle \mathit{AED}=48°$ ， $\mathit{BE}=110\mathit{cm}$ ， $\mathit{DE}=80\mathit{cm}$ ，求活动杆端点 $D$ 离地面的高度 $\mathit{DF}$ ．（结果精确到 $1\mathit{cm}$ ，参考数据： $\sin 48°\approx 0.74$ ， $\cos 48°\approx 0.67$ ， $\tan 48°\approx 1.11)$

如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在 $C$ 处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的 $A$ 处驶来，已知 $\mathit{CM}=3m$ ， $\mathit{CO}=5m$ ， $\mathit{DO}=3m$ ， $\angle \mathit{AOD}=70°$ ，汽车从 $A$ 处前行多少米才能发现 $C$ 处的儿童（结果保留整数）？

（参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$ ， $\cos 37°\approx 0.80$ ， $\tan 37°\approx 0.75$ ； $\sin 70°\approx 0.94$ ， $\cos 70°\approx 0.34$ ， $\tan 70°\approx 2.75)$

图1是第七届国际数学教育大会 $\left(\mathit{ICME}\right)$ 会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $\mathit{OABC}$ ．若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1$ ， $\angle \mathit{AOB}=\alpha$ ，则 $O{C}^2$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+1$

B．

${\sin }^2\alpha +1$

C．

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+1$

D．

${\cos }^2\alpha +1$

如图，著名旅游景区 $B$位于大山深处，原来到此旅游需要绕行 $C$地，沿折线 $A\to C\to B$方可到达．当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从 $A$地到景区 $B$的笔直公路．请结合 $\angle A=45°$， $\angle B=30°$， $\mathit{BC}=100$千米， $\sqrt{2}\approx 1.4$， $\sqrt{3}\approx 1.7$等数据信息，解答下列问题：

（1）公路修建后，从 $A$地到景区 $B$旅游可以少走多少千米？

（2）为迎接旅游旺季的到来，修建公路时，施工队使用了新的施工技术，实际工作时每天的工效比原计划增加 $25\%$，结果提前50天完成了施工任务．求施工队原计划每天修建多少千米？

拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为 $l$ ，底座 $\mathit{AB}$ 固定，高 $\mathit{AB}$ 为 $50\mathit{cm}$ ，连杆 $\mathit{BC}$ 长度为 $70\mathit{cm}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ 长度为 $60\mathit{cm}$ ．点 $B$ ， $C$ 是转动点，且 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{CD}$ 始终在同一平面内．

（1）转动连杆 $\mathit{BC}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ ，使 $\angle \mathit{ABC}=143°$ ， $\mathit{CD}//l$ ，如图2，求手臂端点 $D$ 离操作台 $l$ 的高度 $\mathit{DE}$ 的长（精确到 $1\mathit{cm}$ ，参考数据： $\sin 53°\approx 0.8$ ， $\cos 53°\approx 0.6)$ ．

（2）物品在操作台 $l$ 上，距离底座 $A$ 端 $110\mathit{cm}$ 的点 $M$ 处，转动连杆 $\mathit{BC}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ ，手臂端点 $D$ 能否碰到点 $M$ ？请说明理由．

图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄 AB与地面 DE平行，踏板 CD长为1.5 m， CD与地面 DE的夹角 $\angle \mathit{CDE}＝15°$ ，支架 AC长为1 m， $\angle \mathit{ACD}＝75°$ ，求跑步机手柄 AB所在直线与地面 DE之间的距离．（结果精确到0.1 m．参考数据： $\mathit{sin}15°\approx 0.26$ ， $\mathit{cos}15°\approx 0.97$ ， $\mathit{tan}15°\approx 0.27$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73$ ）

某工程队准备从 $A$ 到 $B$ 修建一条隧道，测量员在直线 $\mathit{AB}$ 的同一侧选定 $C$ ， $D$ 两个观测点，如图．测得 $\mathit{AC}$ 长为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}\mathit{km}$ ， $\mathit{CD}$ 长为 $\frac{3}{4}(\sqrt{2}+\sqrt{6})\mathit{km}$ ， $\mathit{BD}$ 长为 $\frac{3}{2}\mathit{km}$ ， $\angle \mathit{ACD}=60°$ ， $\angle \mathit{CDB}=135°(A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在同一水平面内）．

（1）求 $A$ 、 $D$ 两点之间的距离；

（2）求隧道 $\mathit{AB}$ 的长度．

人字折叠梯完全打开后如图1所示， $B$， $C$是折叠梯的两个着地点， $D$是折叠梯最高级踏板的固定点．图2是它的示意图， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\mathit{BD}=140\mathit{cm}$， $\angle \mathit{BAC}=40°$，求点 $D$离地面的高度 $\mathit{DE}$．（结果精确到 $0.1\mathit{cm}$；参考数据 $\sin 70°\approx 0.94$， $\cos 70°\approx 0.34$， $\sin 20°\approx 0.34$， $\cos 20°\approx 0.94)$

今年疫情期间，针对各种入口处人工测量体温存在的感染风险高、效率低等问题，清华大学牵头研制一款“测温机器人”，如图1，机器人工作时，行人抬手在测温头处测量手腕温度，体温合格则机器人抬起臂杆行人可通行，不合格时机器人不抬臂杆并报警，从而有效阻隔病原体．

（1）为了设计“测温机器人”的高度，科研团队采集了大量数据．下表是抽样采集某一地区居民的身高数据：

测量对象	男性 $(18~60$岁）				女性 $(18~55$岁）
抽样人数（人 $)$	2000	5000	20000	2000		5000	20000
平均身高（厘米）	173	175	176	164		165	164

根据你所学的知识，若要更准确的表示这一地区男、女的平均身高，男性应采用　176　厘米，女性应采用　　厘米；

（2）如图2，一般的，人抬手的高度与身高之比为黄金比时给人的感觉最舒适，由此利用（1）中的数据得出测温头点 $P$距地面105厘米．指示牌挂在两臂杆 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$的连接点 $A$处， $A$点距地面110厘米．臂杆落下时两端点 $B$， $C$在同一水平线上， $\mathit{BC}=100$厘米，点 $C$在点 $P$的正下方5厘米处．若两臂杆长度相等，求两臂杆的夹角．

（参考数据表）

计算器按键顺序	计算结果（近似值）	计算器按键顺序	计算结果（近似值）
	0.1		78.7
	0.2		84.3
	1.7		5.7
	3.5		11.3

人字梯为现代家庭常用的工具（如图）．若 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$的长都为 $2m$，当 $\alpha =50°$时，人字梯顶端离地面的高度 $\mathit{AD}$是　 　 $m$．（结果精确到 $0.1m$，参考依据： $\sin 50°\approx 0.77$， $\cos 50°\approx 0.64$， $\tan 50°\approx 1.19)$

为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．

名称	红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数	探测最大角： $\angle \mathit{OBC}＝73.14°$
	探测最小角： $\angle \mathit{OAC}＝30.97°$
安装要求	本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上

根据以上内容，解决问题：

学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．

（结果精确到0.1m，参考数据： $\mathit{sin}73.14°\approx 0.957，\mathit{cos}73.14°\approx 0.290$，t $\mathit{an}73.14°\approx 3.300$， $\mathit{sin}30.97°\approx 0.515$， $\mathit{cos}30.97°\approx 0.857$， $\text{t}\mathit{an}30.97°\approx 0.600$）