高中数学空间向量的应用试题

如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别为CD、PC的中点．求证：

(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.

用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：
①若     ②若；
③若；   ④若
其中真命题的序号是（   ）

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

如图，四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，
（1）求证：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使与平面所成的角为？若存在，确定点 的位置；若不存在，说明理由.

用a，b，c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题：
①若
②若；
③若；
④若
其中真命题的序号是（     ）

A．①③

B．①④

C．②③

D．②④

菱形的边长为3，与交于，且．将菱形沿对角线折起得到三棱锥（如图）， 点是棱的中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．

如图, 四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中, 侧棱A₁A⊥底面ABCD, AB//DC, AB⊥AD, AD =" CD" =" 1," AA₁ =" AB" =" 2," E为棱AA₁的中点.
(1) 证明B₁C₁⊥CE;
(2) 求二面角B₁-CE-C₁的正弦值.
(3) 设点M在线段C₁E上, 且直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为, 求线段AM的长.

已知是三条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题为真命题的是（    ）

A．若，，，，则

B．若，∥，，则

C．若∥，，则∥

D．若，，，则∥

如图1，直角梯形中，，，，点为线段上异于的点，且，沿将面折起，使平面平面，如图2.
（1）求证：平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

如图平面SAC⊥平面ACB，ΔSAC是边长为4的等边三角形，ΔACB为直角三角形，∠ACB=90，BC=，求二面角S-AB-C的余弦值.

如图，已知四边形ABCD 是矩形，PA⊥平面ABCD，M, N分别是AB, PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)求证：MN⊥DC；

如图,已知正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC中点。

（1）求证：直线AB₁∥平面C₁DB；
（2）求异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值

如图，四棱锥中，，，，平面⊥平面，是线段上一点，，．
（1）证明：⊥平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

如图，在矩形中，，点在边上，点在边上，且，垂足为，若将沿折起，使点位于位置，连接，得四棱锥．
(1)求证：平面平面；
(2)若，直线与平面所成角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．

如图，在平行四边形中，，，将沿折起到的位置.
（1）求证：平面；
（2）当取何值时，三棱锥的体积取最大值？并求此时三棱锥的侧面积.

如图所示， 四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA^CD，PA = 1，PD＝，E为PD上一点，PE = 2ED．
（1）求证：PA ^平面ABCD；
（2）求二面角D－AC－E的余弦值；
（3）在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF // 平面AEC？
若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．