高中数学空间向量的应用试题

如图，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点.

（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.

在平行四边形 $ABCD$中， $AB=BD=CD=1$， $AB\perp BD,CD\perp BD$.将 $△ABD$沿 $BD$折起，使得平面 $ABD\perp$平面 $BCD$，如图.

（1）求证： $AB\perp CD$；
（2）若 $M$为 $AD$中点，求直线 $AD$与平面 $MBC$所成角的正弦值.

如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，底面，，为上一点，且.
（1）证明：平面；
（2）若，求四棱锥的体积.

如图，在四棱锥 $A-BCDE$中，平面 $ABC\perp$平面 $BCDE$； $\angle CDE=\angle BED={90}^{°}$， $AB=CD=2,DE=BE=1,AC=\sqrt{2}$.
（1）证明： $AC\perp$平面 $BCDE$；
（2）求直线 $AE$与平面 $ABC$所成的角的正切值.

下列命题：①已知平面满足则.
②E，F，G，H是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若对角线BD=2，AC=4，则
③过所在平面外一点P，作，垂足为O，连接PA，PB，PC，若，则点O是的垂心
其中正确命题的序号是           。

如图，在长方体中，．
（1）若点在对角线上移动，求证：⊥；
（2）当为棱中点时，求点到平面的距离。

如图，在正三棱柱中，点在边上，
（1）求证：平面；
（2）如果点是的中点，求证：//平面.

在类比此性质，如下图，在四面体P－ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为________________．

如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱长都为2，D为CC₁中点.
（1）求证：AB₁⊥面A₁BD；
（2）求二面角A－A₁D－B的余弦值；
（3）求点C到平面A₁BD的距离.

在类比此性质，如下图，在四面体P－ABC中，若PA、PB、PC两两垂直，底面ABC上的高为h，则得到的正确结论为__________________________．

如图，，为圆柱的母线，是底面圆的直径，，分别是，的中点，．
（1）证明：；
（2）证明：；
（3）假设这是个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果鱼游到四棱锥 内会有被捕的危险，求鱼被捕的概率.

如图菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，,点H、G分别是线段EF、BC的中点.
（1）求证：平面AHC平面;（2）（2）求此几何体的体积.

如图菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，,点H、G分别是线段EF、BC的中点.
（1）求证：平面AHC平面;（2）点M在直线EF上，且平面，求平面ACH与平面ACM所成锐角的余弦值.

如图，已知平面，，，
且是的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求此多面体的体积.

如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面
底面，且，、分别为、的中点.

（1）求证：平面；   
（2）求证：面平面；
（3）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为？说明理由.