高中数学空间向量的应用试题

如图是一几何体的平面展开图,其中ABCD为正方形,E,F分别为PA,PD的中点,在此几何体中,给出下面四个结论：

①直线BE与直线CF异面;
②直线BE与直线AF异面;
③直线EF∥平面PBC;
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确的有__________.

如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．

在三棱锥P－ABC中，.

（1）求证：平面平面；
（2）求BC与平面PAB所成角的正弦值；
（3）在棱BC上是否存在点Q使得AQ与PC成的角？若存在，求BQ的长；若不存在，请说明理由.

如图，在三棱锥中，，，平面平面，为中点，点分别为线段上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的最大值为________．

（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，，，，平面平面，是线段上一点，，，．

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）设三棱锥与四棱锥的体积分别为与，求的值．

（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，底面，，E、F分别是棱的中点.

（Ⅰ）求证：AB⊥平面AA₁ C₁C；
（Ⅱ）若线段上的点满足平面//平面，试确定点的位置，并说明理由；

（本小题满分14分）如图，在正三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，D、E分别为CC₁、A₁B₁的中点．

求证：C₁E∥平面A₁BD；
（2）求证：平面ABB₁A₁⊥平面A₁BD.

如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面AC，BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则实数a的取值范围是________．

如图，已知平行四边形ABCD中，BC＝6，正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直，G，H分别是DF，BE的中点．

(1)求证：GH∥平面CDE；
(2)若CD＝2，DB＝4，求四棱锥F—ABCD的体积．

在空间中，过点A作平面的垂线，垂足为B，记.设是两个不同的平面，对空间任意一点恒有，则（）

A．平面与平面垂直
B．平面与平面所成的（锐）二面角为45°
C．平面与平面平行
D．平面与平面所成的（锐）二面角为60°

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥CD，PA=AD，M，Q分别是PD，BC的中点．
（1）求证：MQ∥平面PAB；
（2）若AN⊥PC，垂足为N，求证：MN⊥PD．

如图，四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，侧棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA₁＝AB＝2，E为棱AA₁的中点．

(1)证明B₁C₁⊥CE；
(2)求二面角B₁CEC₁的正弦值；
(3)设点M在线段C₁E上，且直线AM与平面ADD₁A₁所成角的正弦值为，求线段AM的长．

在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的(　　)

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDE⊥平面ABC

D．平面PAE⊥平面ABC

（本小题满分14分）

如图，在三棱柱中，底面，，E、F分别是棱的中点.
（1）求证：AB⊥平面AA₁ C₁C；
（2）若线段上的点满足平面//平面，试确定点的位置，并说明理由；
（3）证明：⊥A₁C.

四棱锥底面是菱形，，,分别是的中点.

（1）求证：平面⊥平面；
（2）是上的动点，与平面所成的最大角为，求二面角的正切值.