高中数学空间向量的应用试题

（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，面为矩形，，，为的中点，与交于点，面．

（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

（本小题满分15分）如图，正方形的边长为1，正方形所在平面与平面互相垂直，是的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）求三棱锥的体积．

（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形且∠DAB=60°，O为AD中点．

（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面POB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，试问在线段PC上是否存在点M，使二面角M—BO—C的大小为60°，如存在，求的值，如不存在，说明理由．

（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形， 底面.

（1）证明：；
（2）若求二面角的余弦值。

如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，E，F分别为棱AB，PC的中点

（1）求证：PE⊥BC；
（2）求证：EF∥平面PAD．

如图，三角形 $△PDC$所在的平面与长方形 $ABCD$所在的平面垂直， $PD=PC=4$， $AB=6$， $BC=3$，点 $E$是 $CD$的中点，点 $F$、 $G$分别在线段 $AB$、 $BC$上，且 $AF=2FB$， $CG=2GB$．

（1）证明： $PE\perp FG$；
（2）求二面角 $P-AD-C$的正切值；
（3）求直线 $PA$与直线 $FG$所成角的余弦值．

在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面．

（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

如图，三棱锥 $P-ABC$中， $PC\perp$平面 $ABC,PC=3,\angle ACB=\frac{\pi }{2},D,E$分别为线段 $AB,BC$上的点，且 $CD=DE=\sqrt{2},CE=2EB=2$

（1）证明： $DE\perp$平面 $PCD$

（2）求二面角 $A-PD-C$的余弦值。

如图，中，是的中点，，．将沿折起，使点与图中点重合．

（1）求证：平面；
（2）当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；
（3）在（2）条件下，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为？证明你的结论．

如图，已知长方形中，，为的中点，将沿折起，使得平面平面．

（1）求证：；
（2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，二面角的余弦值为．

（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，//，，平面底面，为的中点，是棱的中点，

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

如图，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，，沿将△翻折到△，连接，得到如图的五棱锥，且．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．

（本小题满分12分）如图所示，直三棱柱的各条棱长均为，是侧棱的中点．

（1）求证：平面平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求平面与平面所成二面角（锐角）的大小．

如图所示，在四边形中，,将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是          ．

（1）； 
（2）；
（3）与平面所成的角为；
（4）四面体的体积为．

如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，、分别为、中点．

（1）求证：；
（2）求二面角的大小．