高中数学解答题

已知函数f（x）=|x﹣4|﹣t，t∈R，且关于x的不等式f（x+2）≤2的解集为[﹣1，5]．
（1）求t值；
（2）a，b，c均为正实数，且a+b+c=t，求证：++≥1．

某市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如下：

API	[0，50]	（50，100]	（100，150]	（150，200]	（200，250]	（250，300]	＞300
空气质量	优	良	轻微污染	轻度污染	中度污染	中度重污染	重度污染
天数	4	13	18	30	9	11	15

 
记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为S（单位：元），空气质量指数API为ω，在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API为150时造成的经济损失为500元，当API为200时，造成的经济损失为700元）；当API大于300时造成的经济损失为2000元．
（1）试写出S（ω）表达式；
（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；
（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？

P（K^2≥kc）	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
Kc	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

 
K²=

	非重度污染	重度污染	合计
供暖季
非供暖季
合计			100

 

（本小题满分14分）已知函数（）．

（1）若为函数的极值点，求的值；
（2）若，
已知，，若直线、及直线与函数的图象所围成的封闭图形如阴影部分所示，求阴影面积关于的函数的最小值；
证明不等式：．

如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，,,点是的中点，点是边上的任意一点.

(Ⅰ)当点为边的中点时，判断与平面的位置关系，并加以证明；
(Ⅱ)证明：无论点在边的何处，都有;
(Ⅲ)求三棱锥的体积.

(本小题满分7分)选修4—2:矩阵与变换
若二阶矩阵满足.
(Ⅰ)求二阶矩阵；
(Ⅱ)把矩阵所对应的变换作用在曲线上，求所得曲线的方程.

选修4-5: 不等式选讲
设函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若，使得，求实数的取值范围.

21．
已知实数为常数，函数．
（Ⅰ）若曲线在处的切线过点A，求实数值；
（Ⅱ）若函数有两个极值点．
求证：，②求证：.

已知函数.
（I）求函数的最小正周期；
（II）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象.在中，角A，B，C的对边分别为，若，求的面积.

某省为了研究雾霾天气的治理，一课题组对省内24个城市进行了空气质量的调查，按地域特点把这些城市分成了甲、乙、丙三组.已知三组城市的个数分别为4，8，12，课题组用分层抽样的方法从中抽取6个城市进行空气质量的调查.
（I）求每组中抽取的城市的个数；
（II）从已抽取的6个城市中任抽两个城市，求两个城市不来自同一组的概率.

（本小题满分12分）已知等比数列的前n项和为，且满足.
（I）求p的值及数列的通项公式；
（II）若数列满足，求数列的前n项和.

（本小题满分10分）在△ABC中，分别是角A,B,C的对边．
（１）求证：；
（２）已知,求的值．

（本小题满分13分）
如图，⊙O在平面内，AB是⊙O的直径，平面，C为圆周上不同于A、B的任意一点，M，N，Q分别是PA，PC，PB的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求证：平面.

选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数，t∈R)．试在曲线C上求一点M，使它到直线l的距离最大．

（本小题13分）已知 ，（）．若是的充分条件,求的取值范围．

（本小题满分14分）
如图，四边形是正方形，△与△均是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是的中点，点是边上的任意一点.

（1）求证：；
（2）求二面角的平面角的正弦值.