初中数学解直角三角形的应用解答题

如图，为了测量某条河的对岸边 $C$， $D$两点间的距离．在河的岸边与 $\mathit{CD}$平行的直线 $\mathit{EF}$上取两点 $A$， $B$，测得 $\angle \mathit{BAC}=45°$， $\angle \mathit{ABC}=37°$， $\angle \mathit{DBF}=60°$，量得 $\mathit{AB}$长为70米．求 $C$， $D$两点间的距离（参考数据： $\sin 37°\approx \frac{3}{5}$， $\cos 37°\approx \frac{4}{5}$， $\tan 37°\approx \frac{3}{4})$．

如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面 $A$， $B$两个探测点探测到地下 $C$处有生命迹象．已知 $A$， $B$两点相距8米，探测线与地面的夹角分别是 $30°$和 $45°$，试确定生命所在点 $C$的深度（结果保留根号）．

如图，有一个三角形的钢架 $\mathit{ABC}$， $\angle A=30°$， $\angle C=45°$， $\mathit{AC}=2(\sqrt{3}+1)m$．请计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为 $2.1m$的圆形门？

图1是太阳能热水器装置的示意图．利用玻璃吸热管可以把太阳能转化为热能，玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最好，假设某用户要求根据本地区冬至正午时刻太阳光线与地面水平线的夹角 $\left(\theta \right)$确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光线与玻璃吸热管垂直），请完成以下计算：

如图2， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$，垂足为点 $B$， $\mathit{EA}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $A$， $\mathit{CD}//\mathit{AB}$， $\mathit{CD}=10\mathit{cm}$， $\mathit{DE}=120\mathit{cm}$， $\mathit{FG}\perp \mathit{DE}$，垂足为点 $G$．

（1）若 $\angle \theta =37°50\text{'}$，则 $\mathit{AB}$的长约为　　 $\mathit{cm}$；

（参考数据： $\sin 37°50\text{'}\approx 0.61$， $\cos 37°50\text{'}\approx 0.79$， $\tan 37°50\text{'}\approx 0.78)$

（2）若 $\mathit{FG}=30\mathit{cm}$， $\angle \theta =60°$，求 $\mathit{CF}$的长．

如图所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路 $10m$的 $A$处，测得一辆汽车从 $B$处行驶到 $C$处所用时间为0.9秒，已知 $\angle B=30°$， $\angle C=45°$．

（1）求 $B$， $C$之间的距离；（保留根号）

（2）如果此地限速为 $80\mathit{km}/h$，那么这辆汽车是否超速？请说明理由．（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.7$， $\sqrt{2}\approx 1.4)$

如图，一棵与地面垂直的笔直大树 $\mathit{AB}$，在点 $C$被大风折断后， $\mathit{AC}$部分倒下，树的顶点 $A$与斜坡 $\mathit{DF}$上的点 $G$重合 $(\mathit{BC}$， $\mathit{CG}$都保持笔直），经测量 $\mathit{DG}=2m$， $\mathit{BD}=3m$， $\angle \mathit{EDF}=30°$， $\angle \mathit{BCG}=60°$，求 $\mathit{CG}$的长． $(\sqrt{3}\approx 1.73$，精确到 $0.1m)$

在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧 $A$， $B$两个凉亭之间的距离．如图，现测得 $\angle \mathit{ABC}=30°$， $\angle \mathit{CAB}=15°$， $\mathit{AC}=200$米，请计算 $A$， $B$两个凉亭之间的距离（结果精确到1米）（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图，某市文化节期间，在景观湖中央搭建了一个舞台 $C$，在岸边搭建了三个看台 $A$， $B$， $D$，其中 $A$， $C$， $D$三点在同一条直线上，看台 $A$， $B$到舞台 $C$的距离相等，测得 $\angle A=30°$， $\angle D=45°$， $\mathit{AB}=60m$，小明、小丽分别在 $B$， $D$看台观看演出，请分别求出小明、小丽与舞台 $C$的距离．（结果保留根号）

如图1，一种折叠式小刀由刀片和刀鞘两部分组成．现将小刀打开成如图2位置，刀片部分是四边形 $\mathit{ABCD}$，其中 $\mathit{AD}//\mathit{BC}$， $\mathit{AB}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{CD}=15\mathit{mm}$， $\angle C=53°$，刀鞘的边缘 $\mathit{MN}//\mathit{PQ}$，刀刃 $\mathit{BC}$与刀鞘边缘 $\mathit{PQ}$相交于点 $O$，点 $A$恰好落在刀鞘另一边缘 $\mathit{MN}$上时， $\angle \mathit{COP}=37°$， $\mathit{OC}=50\mathit{mm}$，

（1）求刀片宽度 $h$．

（2）若刀鞘宽度为 $14\mathit{mm}$，求刀刃 $\mathit{BC}$的长度．（结果精确到 $0.1\mathit{mm})$（参考数据： $\sin 37°\approx \frac{3}{5}$， $\cos 37°\approx \frac{4}{5}$， $\tan 37°\approx \frac{3}{4})$

如图，池塘边一棵垂直于水面 $\mathit{BM}$的笔直大树 $\mathit{AB}$在点 $C$处折断， $\mathit{AC}$部分倒下，点 $A$与水面上的点 $E$重合，部分沉入水中后，点 $A$与水中的点 $F$重合， $\mathit{CF}$交水面于点 $D$， $\mathit{DF}=2m$， $\angle \mathit{CEB}=30°$， $\angle \mathit{CDB}=45°$，求 $\mathit{CB}$部分的高度．（精确到 $0.1m$．参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆 $\mathit{DE}$，箱长 $\mathit{BC}$，拉杆 $\mathit{AB}$的长度都相等，即 $\mathit{DE}=\mathit{BC}=\mathit{AB}$， $B$， $F$在 $\mathit{AC}$上， $C$在 $\mathit{DE}$上，支杆 $\mathit{DF}=30\mathit{cm}$， $\mathit{CE}:\mathit{CD}=1:3$， $\angle \mathit{DCF}=45°$， $\angle \mathit{CDF}=30°$，请根据以上信息，解决下列问题．

（1）求 $\mathit{AC}$的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点 $A$到水平滑杆 $\mathit{ED}$的距离（结果保留根号）．

两栋居民楼之间的距离 $\mathit{CD}=30$米，楼 $\mathit{AC}$和 $\mathit{BD}$均为10层，每层楼高3米．

（1）上午某时刻，太阳光线 $\mathit{GB}$与水平面的夹角为 $30°$，此刻 $B$楼的影子落在 $A$楼的第几层？

（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时， $B$楼的影子刚好落在 $A$楼的底部？

为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对 $A$、 $B$两地间的公路进行改建．如图， $A$、 $B$两地之间有一座山，汽车原来从 $A$地到 $B$地需途经 $C$地沿折线 $\mathit{ACB}$行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 $\mathit{AB}$行驶．已知 $\mathit{BC}=80$千米， $\angle A=45°$， $\angle B=30°$．

（1）开通隧道前，汽车从 $A$地到 $B$地大约要走多少千米？

（2）开通隧道后，汽车从 $A$地到 $B$地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

图1是某小区入口实景图，图2是该入口抽象成的平面示意图．已知入口 $\mathit{BC}$宽3.9米，门卫室外墙 $\mathit{AB}$上的 $O$点处装有一盏路灯，点 $O$与地面 $\mathit{BC}$的距离为3.3米，灯臂 $\mathit{OM}$长为1.2米（灯罩长度忽略不计）， $\angle \mathit{AOM}=60°$．

（1）求点 $M$到地面的距离；

（2）某搬家公司一辆总宽2.55米，总高3.5米的货车从该入口进入时，货车需与护栏 $\mathit{CD}$保持0.65米的安全距离，此时，货车能否安全通过？若能，请通过计算说明；若不能，请说明理由．（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73$，结果精确到0.01米）

图1是一商场的推拉门，已知门的宽度 $\mathit{AD}=2$米，且两扇门的大小相同（即 $\mathit{AB}=\mathit{CD})$，将左边的门 $\mathit{AB}{B}_1{A}_1$绕门轴 $A{A}_1$向里面旋转 $37°$，将右边的门 $\mathit{CD}{D}_1{C}_1$绕门轴 $D{D}_1$向外面旋转 $45°$，其示意图如图2，求此时 $B$与 $C$之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据： $\sin 37°\approx 0.6$， $\cos 37°\approx 0.8$， $\sqrt{2}\approx 1.4)$