初中数学解直角三角形的应用解答题

图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂 $\mathit{AC}=40\mathit{cm}$，灯罩 $\mathit{CD}=30\mathit{cm}$，灯臂与底座构成的 $\angle \mathit{CAB}=60°$． $\mathit{CD}$可以绕点 $C$上下调节一定的角度．使用发现：当 $\mathit{CD}$与水平线所成的角为 $30°$时，台灯光线最佳．现测得点 $D$到桌面的距离为 $49.6\mathit{cm}$．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据： $\sqrt{3}$取 $1.73)$．

某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳蓬”这一课题进行了探究，过程如下：

问题提出：

如图1是某住户窗户上方安装的遮阳蓬，要求设计的遮阳蓬能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．

方案设计：

如图2，该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面 $\mathit{AC}$的遮阳蓬 $\mathit{CD}$．

数据收集：

通过查阅相关资料和实际测量：兰州市一年中，夏至日这一天的正午时刻太阳光线 $\mathit{DA}$与遮阳蓬 $\mathit{CD}$的夹角 $\angle \mathit{ADC}$最大 $(\angle \mathit{ADC}=77.44°)$；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线 $\mathit{DB}$与遮阳蓬 $\mathit{CD}$的夹角 $\angle \mathit{BDC}$最小 $(\angle \mathit{BDC}=30.56°)$．窗户的高度 $\mathit{AB}=2m$．

问题解决：

根据上述方案及数据，求遮阳蓬 $\mathit{CD}$的长．

（结果精确到 $0.1m$，参考数据： $\sin 30.56°\approx 0.51$， $\cos 30.56°\approx 0.86$， $\tan 30.56°\approx 0.59$， $\sin 77.44°\approx 0.98$， $\cos 77.44°\approx 0.22$， $\tan 77.44°\approx 4.49)$

如图，某城市市民广场一入口处有五级高度相等的小台阶．已知台阶总高1.5米，为了安全，现要做一个不锈钢扶手 $\mathit{AB}$及两根与 $\mathit{FG}$垂直且长为1米的不锈钢架杆 $\mathit{AD}$和 $\mathit{BC}$（杆子的底端分别为 $D$、 $C)$，且 $\angle \mathit{DAB}=66.5°$．（参考数据： $\cos 66.5°\approx 0.40$， $\sin 66.5°\approx 0.92)$

（1）求点 $D$与点 $C$的高度差 $\mathit{DH}$；

（2）求所有不锈钢材料的总长度（即 $\mathit{AD}+\mathit{AB}+\mathit{BC}$的长，结果精确到0.1米）

如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°．由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1cm．温馨提示： $\mathit{sin}75°\approx 0.97，$ $\mathit{cos}75°\approx 0.26，\sqrt{3}\approx 1.73$．

芜湖长江大桥是中国跨度最大的公路和铁路两用桥梁，大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长．（结果精确到0.1米， $\sqrt{3}\approx 1.732$）

美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°．若AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

“兰州中山桥“位于兰州滨河路中段白塔山下、金城关前，是黄河上第一座真正意义上的桥梁，有“天下黄河第一桥“之美誉．它像一部史诗，记载着兰州古往今来历史的变迁．桥上飞架了5座等高的弧形钢架拱桥．

小芸和小刚分别在桥面上的A，B两处，准备测量其中一座弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．已知AB＝20m，小芸在A处测得∠CAB＝36°，小刚在B处测得∠CBA＝43°，求弧形钢架拱梁顶部C处到桥面的距离．（结果精确到0.1m）（参考数据sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）

两栋居民楼之间的距离 CD＝30 m，楼 AC和 BD均为10层，每层楼高为3 m．上午某时刻，太阳光线 GB与水平面的夹角为30°，此刻楼 BD的影子会遮挡到楼 AC的第几层？（参考数据： $\sqrt{3}$ ≈1.7， $\sqrt{2}$ ≈1.4）

王阿姨家的阳台上放置了一个晾衣架，完全稳固张开如图①．图②，③是晾衣架的侧面展开图，△ AOB是边长为130 cm的等边三角形，晾衣架 OE， OF能以 O为圆心转动，且 OE＝ OF＝130 cm：在 OA， OB上的点 C， D处分别有支撑杆 CN， DM能以 C， D为圆心转动．

（1）如图②，若 EF平行于地面 AB，王阿姨的衣服穿在衣架上的总长度是110 cm，垂挂在晾衣杆 OE上是否会拖到地面上？说明理由．

（2）如图③，当支撑杆 DM支到点 M′，此时∠ EOB＝78°，点 E离地面距离最大．保证衣服不拖到地面上，衣服穿在衣架上的总长度最长约为多少厘米？（结果取整）参考数据：（ $\sqrt{\text{3}}\approx \frac{\text{17}}{\text{10}}$ ，sin78°≈ $\frac{\text{49}}{\text{50}}$ ，cos78°≈ $\frac{\text{1}}{\text{5}}$ ，sin18°≈ $\frac{\text{3}}{\text{10}}$ ，cos18°≈ $\frac{\text{19}}{\text{20}}$ ）

“一号龙卷风”给小岛O造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储D处调集救援物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C、B、A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O．已知：OA⊥AD，∠ODA＝15°，∠OCA＝30°，∠OBA＝45°，CD＝20km．若汽车行驶的速度为50km/时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O？（在物资搬运能力上每个码头工作效率相同，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.4,\sqrt{3}\approx 1.7$）．

如图，地面上小山的两侧有 A， B两地，为了测量 A， B两地的距离，让一热气球从小山西侧 A地出发沿与 AB成30°角的方向，以每分钟40 m的速度直线飞行，10分钟后到达 C处，此时热气球上的人测得 CB与 AB成70°角，请你用测得的数据求 A， B两地的距离 AB长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

如图1，在△ ABC中，设∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为 a， b， c，过点 A作 AD⊥ BC，垂足为 D，会有sin∠ C＝ $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AC}}$ ，则

S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$ BC× AD＝ $\frac{1}{2}$ × BC× ACsin∠ C＝ $\frac{1}{2}$ absin∠ C，

即 S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$ absin∠ C

同理 S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$ bcsin∠ A

S _{△ ABC}＝ $\frac{1}{2}$ acsin∠ B

通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：

如图2，在△ ABC中，若∠ A、∠ B、∠ C的对边分别为 a， b， c，则

a ²＝ b ²+ c ²﹣2 bccos∠ A

b ²＝ a ²+ c ²﹣2 accos∠ B

c ²＝ a ²+ b ²﹣2 abcos∠ C

用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：

（1）如图3，在△ DEF中，∠ F＝60°，∠ D、∠ E的对边分别是3和8．求 S _{△ DEF}和 DE ²．

解： S _{△ DEF}＝ EF× DFsin∠ F＝ 　　；

DE ²＝ EF ²+ DF ²﹣2 EF× DFcos∠ F＝ 　　．

（2）如图4，在△ ABC中，已知 AC＞ BC，∠ C＝60°，△ ABC'、△ BCA'、△ ACB'分别是以 AB、 BC、 AC为边长的等边三角形，设△ ABC、△ ABC'、△ BCA'、△ ACB'的面积分别为 S ₁、 S ₂、 S ₃、 S ₄，求证： S ₁+ S ₂＝ S ₃+ S ₄．

王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示．已知 AC＝20 cm， BC＝18 cm，∠ ACB＝50°，王浩的手机长度为17 cm，宽为8 cm，王浩同学能否将手机放入卡槽 AB内？请说明你的理由．（提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）

图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面 AE的倾斜角∠ EAD为22°，长为2米的真空管 AB与水平线 AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管 CE的长度为0.5米．

（1）真空管上端 B到水平线 AD的距离．

（2）求安装热水器的铁架水平横管 BC的长度（结果精确到0.1米）．

（参考数据： $\sin {37}^{\circ }\approx \frac{3}{5}$ ， $\cos {37}^{\circ }\approx \frac{4}{5}$ ， $\tan {37}^{\circ }\approx \frac{3}{4}$ ， $\sin {22}^{\circ }\approx \frac{3}{8}$ ， $\cos {22}^{\circ }\approx \frac{15}{16}$ ， $\tan {22}^{\circ }\approx \frac{2}{5}$ ）

图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图②是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与地面垂直的OM位置时的示意图．已知AC＝0.66米，BD＝0.26米，α＝20°．（参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）

（1）求AB的长（精确到0.01米）；

（2）若测得ON＝0.8米，试计算小明头顶由N点运动到M点的路径 $\stackrel{̂}{\mathit{MN}}$的长度．（结果保留π）