初中数学解直角三角形的应用解答题

位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体 $\mathit{AD}$和底座 $\mathit{CD}$两部分组成．如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=70.5°$，在 $\text{Rt}\Delta \text{DBC}$中， $\angle \mathit{DBC}=45°$，且 $\mathit{CD}=2.3$米，求像体 $\mathit{AD}$的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据： $\sin 70.5°\approx 0.943$， $\cos 70.5°\approx 0.334$， $\tan 70.5°\approx 2.824)$

问题背景：已知 $\angle \mathit{EDF}$的顶点 $D$在 $\mathit{\Delta ABC}$的边 $\mathit{AB}$所在直线上（不与 $A$， $B$重合）， $\mathit{DE}$交 $\mathit{AC}$所在直线于点 $M$， $\mathit{DF}$交 $\mathit{BC}$所在直线于点 $N$，记 $\mathit{\Delta ADM}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta BND}$的面积为 $S_2$．

（1）初步尝试：如图①，当 $\mathit{\Delta ABC}$是等边三角形， $\mathit{AB}=6$， $\angle \mathit{EDF}=\angle A$，且 $\mathit{DE}//\mathit{BC}$， $\mathit{AD}=2$时，则 $S_1·S_2=$　　；

（2）类比探究：在（1）的条件下，先将点 $D$沿 $\mathit{AB}$平移，使 $\mathit{AD}=4$，再将 $\angle \mathit{EDF}$绕点 $D$旋转至如图②所示位置，求 $S_1·S_2$的值；

（3）延伸拓展：当 $\mathit{\Delta ABC}$是等腰三角形时，设 $\angle B=\angle A=\angle \mathit{EDF}=\alpha$．

（Ⅰ）如图③，当点 $D$在线段 $\mathit{AB}$上运动时，设 $\mathit{AD}=a$， $\mathit{BD}=b$，求 $S_1·S_2$的表达式（结果用 $a$， $b$和 $\alpha$的三角函数表示）．

（Ⅱ）如图④，当点 $D$在 $\mathit{BA}$的延长线上运动时，设 $\mathit{AD}=a$， $\mathit{BD}=b$，直接写出 $S_1·S_2$的表达式，不必写出解答过程．

某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管 $\mathit{AB}$与支架 $\mathit{CD}$所在直线相交于点 $O$，且 $\mathit{OB}=\mathit{OD}$，支架 $\mathit{CD}$与水平线 $\mathit{AE}$垂直， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{CDE}=30°$， $\mathit{DE}=80\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=165\mathit{cm}$．

（1）求支架 $\mathit{CD}$的长；

（2）求真空热水管 $\mathit{AB}$的长．（结果保留根号）

某游乐场部分平面图如图所示， $C$、 $E$、 $A$在同一直线上， $D$、 $E$、 $B$在同一直线上，测得 $A$处与 $E$处的距离为80 米， $C$处与 $D$处的距离为34米， $\angle C=90°$， $\angle \mathit{ABE}=90°$， $\angle \mathit{BAE}=30°$． $(\sqrt{2}\approx 1.4$， $\sqrt{3}\approx 1.7)$

（1）求旋转木马 $E$处到出口 $B$处的距离；

（2）求海洋球 $D$处到出口 $B$处的距离（结果保留整数）．

如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座 $\mathit{BC}=0.60$米，底座 $\mathit{BC}$与支架 $\mathit{AC}$所成的角 $\angle \mathit{ACB}=75°$，支架 $\mathit{AF}$的长为2.50米，篮板顶端 $F$点到篮筐 $D$的距离 $\mathit{FD}=1.35$米，篮板底部支架 $\mathit{HE}$与支架 $\mathit{AF}$所成的角 $\angle \mathit{FHE}=60°$，求篮筐 $D$到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据： $\cos 75°\approx 0.2588$， $\sin 75°\approx 0.9659$， $\tan 75°\approx 3.732$， $\sqrt{3}\approx 1.732$， $\sqrt{2}\approx 1.414)$

某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作，如图，某探测队在地面 $A$、 $B$两处均探测出建筑物下方 $C$处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是 $25°$和 $60°$，且 $\mathit{AB}=4$米，求该生命迹象所在位置 $C$的深度．（结果精确到1米，参考数据： $\sin 25°\approx 0.4$， $\cos 25°\approx 0.9$， $\tan 25°\approx 0.5$， $\sqrt{3}\approx 1.7)$

如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳 $\mathit{BC}$与地面保持垂直，吊臂 $\mathit{AB}$与水平线的夹角为 $64°$，吊臂底部 $A$距地面 $1.5m$．（计算结果精确到 $0.1m$，参考数据 $\sin 64°\approx 0.90$， $\cos 64°\approx 0.44$， $\tan 64°\approx 2.05)$

（1）当吊臂底部 $A$与货物的水平距离 $\mathit{AC}$为 $5m$时，吊臂 $\mathit{AB}$的长为　　 $m$．

（2）如果该吊车吊臂的最大长度 $\mathit{AD}$为 $20m$，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $D$为 $\mathit{BC}$上一点， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{BD}=1$， $\tan B=\frac{3}{4}$．

（1）求 $\mathit{AD}$的长；

（2）求 $\sin \alpha$的值．

贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在 $C$处的求救者后，发现在 $C$处正上方17米的 $B$处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点 $A$与居民楼的水平距离是15米，且在 $A$点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角 $\angle \mathit{CAD}=60°$，求第二次施救时云梯与水平线的夹角 $\angle \mathit{BAD}$的度数（结果精确到 $1°$，可以使用科学计算器）．

某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳 $\mathit{OB}$的长为 $3m$，静止时，踏板到地面距离 $\mathit{BD}$的长为 $0.6m$（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为 $\mathit{hm}$，成人的“安全高度”为 $2m$（计算结果精确到 $0.1m)$

（1）当摆绳 $\mathit{OA}$与 $\mathit{OB}$成 $45°$夹角时，恰为儿童的安全高度，则 $h=$　　 $m$

（2）某成人在玩秋千时，摆绳 $\mathit{OC}$与 $\mathit{OB}$的最大夹角为 $55°$，问此人是否安全？（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sin 55°\approx 0.82$， $\cos 55°\approx 0.57$， $\tan 55°\approx 1.43)$

某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图所示，秋千拉绳 $\mathit{OB}$的长为 $3m$，静止时，踏板到地面距离 $\mathit{BD}$的长为 $0.6m$（踏板厚度忽略不计）．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为 $\mathit{hm}$，成人的“安全高度”为 $2m$（计算结果精确到 $0.1m)$

（1）当摆绳 $\mathit{OA}$与 $\mathit{OB}$成 $45°$夹角时，恰为儿童的安全高度，则 $h=$　　 $m$

（2）某成人在玩秋千时，摆绳 $\mathit{OC}$与 $\mathit{OB}$的最大夹角为 $55°$，问此人是否安全？（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sin 55°\approx 0.82$， $\cos 55°\approx 0.57$， $\tan 55°\approx 1.43)$

阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：

$\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\overline{+}\tan \alpha \tan \beta }$

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．

例： $\tan 75°=\tan (45°+30°)=\frac{\tan 45°+\tan 30°}{1-\tan 45°\tan 30°}=\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}{1-1\times \frac{\sqrt{3}}{3}}=2+\sqrt{3}$

根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题

（1）计算： $\sin 15°$；

（2）某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度．已知李三站在离纪念碑底7米的 $C$处，在 $D$点测得纪念碑碑顶的仰角为 $75°$， $\mathit{DC}$为 $\sqrt{3}$米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．

据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过 $15m/s$，在一条笔直公路 $\mathit{BD}$的上方 $A$处有一探测仪，如平面几何图， $\mathit{AD}=24m$， $\angle D=90°$，第一次探测到一辆轿车从 $B$点匀速向 $D$点行驶，测得 $\angle \mathit{ABD}=31°$，2秒后到达 $C$点，测得 $\angle \mathit{ACD}=50°(\tan 31°\approx 0.6$， $\tan 50°\approx 1.2$，结果精确到 $1m)$

（1）求 $B$， $C$的距离．

（2）通过计算，判断此轿车是否超速．

如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距4米的水平地面 $A$， $B$两处均探测出建筑物下方 $C$处有生命迹象，已知在 $A$处测得探测线与地面的夹角为 $30°$，在 $B$处测得探测线与地面的夹角为 $60°$，求该生命迹象 $C$处与地面的距离．（结果精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

“ $C919$”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中 $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AM}//\mathit{BN}//\mathit{ED}$， $\mathit{AE}\perp \mathit{DE}$，请根据图中数据，求出线段 $\mathit{BE}$和 $\mathit{CD}$的长． $(\sin 37°\approx 0.60$， $\cos 37°\approx 0.80$， $\tan 37°\approx 0.75$，结果保留小数点后一位）