高中数学空间向量的应用试题

如图，三角形 $△PDC$所在的平面与长方形 $ABCD$所在的平面垂直， $PD=PC=4$， $AB=6$， $BC=3$，点 $E$是 $CD$的中点，点 $F$、 $G$分别在线段 $AB$、 $BC$上，且 $AF=2FB$， $CG=2GB$．

（1）证明： $PE\perp FG$；
（2）求二面角 $P-AD-C$的正切值；
（3）求直线 $PA$与直线 $FG$所成角的余弦值．

如图，三棱锥 $P-ABC$中， $PC\perp$平面 $ABC,PC=3,\angle ACB=\frac{\pi }{2},D,E$分别为线段 $AB,BC$上的点，且 $CD=DE=\sqrt{2},CE=2EB=2$

（1）证明： $DE\perp$平面 $PCD$

（2）求二面角 $A-PD-C$的余弦值。

如图，在边长为的菱形中，，点，分别是边，的中点，，沿将△翻折到△，连接，得到如图的五棱锥，且．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的正切值．

（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，//，，平面底面，为的中点，是棱的中点，

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.

如图，在直三棱柱中，平面 侧面且．

（Ⅰ）求证：； 
（Ⅱ）若直线AC与平面所成的角为,求锐二面角的大小．

（本小题满分12分）
如图，ABCD为梯形，平面ABCD，AB//CD，，E为BC中点，连结AE，交BD于O.

（I）平面平面PAE
（II）求二面角的大小（若非特殊角，求出其余弦即可）

（本小题满分10分）已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面互相垂直，//

（1）证明：
（2）设二面角的平面角为,求；
（3）M为AD的中点，在DE上是否存在一点P，使得MP//平面BCE？若存在，求出DP的长；若不存在，请说明理由。

如图，的外接圆的半径为，所在的平面，，，，且，．

（1）求证：平面ADC平面BCDE．
（2）试问线段DE上是否存在点M，使得直线AM与平面ACD所成角的正弦值为？若存在，
确定点M的位置，若不存在，请说明理由．

如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，平面，，，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）若以为坐标原点，射线、、分别是轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得是平面的法向量，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

如图所示的长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB₁＝，M是线段B₁D₁的中点．

(1)求证：BM∥平面D₁AC；
(2)求证：D₁O⊥平面AB₁C；
(3)求二面角B-AB₁-C的大小．

如图，已知四边形与均为正方形，平面平面.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小.