设抛物线的准线与
轴交于点
,焦点为
;椭圆
以
为焦点,离心率
。
(I)当时,①求椭圆
的标准方程;②若直线
与抛物线交于
两点,且线段
恰好被点
平分,设直线
与椭圆
交于
两点,求线段
的长;
(II)(仅理科做)设抛物线与椭圆
的一个交点为
,是否存在实数
,使得
的边长是连续的自然数?若存在,求出这样的实数
的值;若不存在,请说明理由。
(本小题满分12分)
已知、
分别是直线
和
上的两个动点,线段
的长为
,
是
的中点.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)过点作直线
(与
轴不垂直)与轨迹
交于
两点,与
轴交于点
.若
,
,证明:
为定值.
圆C与y轴相切,圆心在射线 x-3y=0(x>0)上,且圆C截直线y=x所得弦长为. (1)求圆C的方程。(2)点P(x,y)是圆C上的动点,求x+y的最大值。(3)求过点M(2,1)的圆的弦的中点轨迹方程。
(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图所示,AB是⊙O的直径,
G为AB延长线上的一点,GCD是⊙O的割线,过点<
G作AB的垂线,交AC的延长线于点E,交AD的延
长线于点F,过G作⊙O的切线,切点为H .
求证:(Ⅰ)C,D,F,E四点共圆;
(Ⅱ)GH2=GE·GF.
)
已知、
是椭圆
的左、右焦点,
为坐标原点,点
在椭圆上,线段
与
轴的交点
满足
;
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过椭圆的右焦点作直线l交椭圆于A、B两点,交y轴于M点,若
,求
的值.
如图,已知
的两条角平分线
和
相交于
,
,
在
上,且
.
(Ⅰ)证明:
、
、
、
四点共圆;
(Ⅱ)证明:
平分
.
已知椭圆的离心率,左、右焦点分别为
,定点P
,点
在线段
的中垂线上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线与椭圆C交于M、N两点,直线
的倾斜角分别为
,求证:直线
过定点,并求该定点的坐标.
如图,动点M与两定点A(-1,0),B(2,0)构成△MAB,且∠MBA=2∠MAB.设动点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程;
(2)设直线(其中
)与y轴相交于点P,与轨迹C相交于点Q,R,且
,求
的取值范围.
如右图,在平面直角坐标系中,已知“葫芦”曲线
由圆弧
与圆弧
相接而成,两相接点
均在直线
上.圆弧
所在圆的圆心是坐标原点
,半径为
;圆弧
过点
.
(I)求圆弧的方程;
(II)已知直线:
与“葫芦”曲线
交于
两点.当
时,求直线
的方程.
在平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,—2),点C满足,其中
,且
,
(1)求点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹与双曲线(a>0,b>0)相交于M、N两点,且以MN为直径的圆经过原点,求证:
为定值;
(3)在(2)的条件下,若双曲线的离心率不大于,求双曲线实轴长的取值范围。
已知平面内两定点,动点
满足条件:
,设点
的轨迹是曲线
为坐标原点。
(I)求曲线的方程;
(II)若直线与曲线
相交于两不同点
,求
的取值范围;
(III)(文科做)设两点分别在直线
上,若
,记
分别为
两点的横坐标,求
的最小值。
(理科做)设两点分别在直线
上,若
,求
面积的最大值。
如图,椭圆
的一个焦点是
,
为坐标原点。
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点
的直线
交椭圆于
、
两点,若直线
绕点
任意转动,值有
,求
的取值范围。
试题篮
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