高中数学第二数学归纳法试题

某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质:
①输入1时，输出结果是；
②输入整数时，输出结果是将前一结果先乘以3n-5，再除以3n+1.
（1）  求f(2),f(3),f(4);
（2） 试由（1）推测f(n)（其中）的表达式，并给出证明.

用数学归纳法证明：1+++时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（   ）

A．

B．

C．

D．

（本小题满分14分）
已知数列中，,, 为该数列的前项和，且.
(1)求数列的通项公式；
（2）若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论．

(本小题满分14分)
已知为实数，数列满足,当时，
(1)当时，求数列的前100项的和；
(2)证明：对于数列，一定存在，使；
(3)令,当时，求证：

探究：是否存在常数a、b、c使得等式1·2²+2·3²+…+n(n+1)²=(an²+bn+c)
对对一切正自然数n均成立，若存在求出a、b、c，并证明；若不存在，请说明理由.

用数学归纳法证明等式：= 从 “到”左端需增乘的代数式为

A．

B．

C．

D．

(12分)在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形展品，其中第一堆只有一层，就一个球，第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按下图方式固定摆放，从第二层开始每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆的第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数.
             
（1）求；
（2）求（用表示）（可能用到的公式：）

(12分)已知数列{}的前n项和为， ，满足，计算，，，，并猜想的表达式.

用数学归纳法证明1+a+a² 在验证n=1成立时,左边计算所得结果为                      （     ）

A． 1

B． 1+a

C．1+a+a^2

D．1+a+a

（本小题15分）在各项为正的数列中，数列的前n项和满足
（1） 求；（2） 由（1）猜想数列的通项公式并证明，（3） 求

（满分12分）已知数列的前n项和满足（n为正整数）.
（1）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）令，，试比较与的大小，并予证明.

（本小题8分）已知数列中，，且．
（1）求，，的值；
（2）写出数列的通项公式，并用数学归纳法证明．

证明时，假设当时成立，则当时，左边增加的项数为（    ）

A．

B．

C．

D．

已知有如下等式：当时，试猜想的值，并用数学归纳法给予证明。

本题满分14分）
在数列中，，且.
(Ⅰ) 求，猜想的表达式，并加以证明；
(Ⅱ) 设，求证：对任意的自然数，都有；