高中数学解答题

如图，已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，，．

（Ⅰ）点是直线中点，证明平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

已知抛物线与双曲线有公共焦点，点是曲线在第一象限的交点，且．
（1）求双曲线的方程；
（2）以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切，圆.过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

已知椭圆的中心在原点，离心率，右焦点为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为，在椭圆上是否存在点，使得向量与共线？若存在，求直线
的方程；若不存在，简要说明理由.

已知数列的首项其中，令集合.
（Ⅰ）若，写出集合中的所有的元素；
（Ⅱ）若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求的所有可能取值构成的集合；
（Ⅲ）求证：.

已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求的单调区间；
（Ⅲ）若在区间上恒成立，求实数的取值范围.

设函数
（Ⅰ）设，，，证明：在区间内存在唯一的零点；
（Ⅱ）设，若对任意，均有，求的取值范围.

设函数，．
（1）记为的导函数，若不等式 在上有解，求实数的取值范围；
（2）若，对任意的，不等式恒成立，求m（m∈Z，m1）的值．

已知函数若函数在x = 0处取得极值．
(1) 求实数的值；
(2) 若关于x的方程在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；
(3)证明：对任意的正整数n，不等式都成立．

已知函数若函数在x = 0处取得极值．
(1) 求实数的值；
(2) 若关于x的方程在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围；
(3) 证明：对任意的自然数n，有恒成立．

已知等差数列满足：，的前n项和为．
(1)求及；
(2)已知数列的第n项为，若成等差数列，且，设数列的前项和．求数列的前项和．

已知椭圆C的中心在原点，焦点F在轴上，离心率，点在椭圆C上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为的直线交椭圆与、两点，且、、成等差数列，点M（1,1），求的最大值.

已知椭圆C的中心在原点，焦点F在轴上，离心率，点在椭圆C上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若斜率为的直线交椭圆与、两点，且、、成等差数列，点M（1,1），求的最大值.

如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，点、分别为、的中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值；
（3）能否在上找到一点，使得平面？若能，请指出点的位置，并加以证明；若不能，请说明理由 .

已知等比数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数连同与按原顺序组成一个公差为（）的等差数列．
①设，求数列的前和；
②在数列中是否存在三项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．

如图，某生态园欲把一块四边形地辟为水果园，其中， ，．若经过上一点和上一点铺设一条道路，且将四边形分成面积相等的两部分，设．

（1）求的关系式；
（2）如果是灌溉水管的位置，为了省钱，希望它最短，求的长的最小值；
（3）如果是参观路线，希望它最长，那么的位置在哪里？