初中数学解答题

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+2x+6(a\ne 0)$交 $x$轴与 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$左侧），将直尺 $\mathit{WXYZ}$与 $x$轴负方向成 $45°$放置，边 $\mathit{WZ}$经过抛物线上的点 $C(4,m)$，与抛物线的另一交点为点 $D$，直尺被 $x$轴截得的线段 $\mathit{EF}=2$，且 $\mathit{\Delta CEF}$的面积为6．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）探究：在直线 $\mathit{AC}$上方的抛物线上是否存在一点 $P$，使得 $\mathit{\Delta ACP}$的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及此时点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）将直尺以每秒2个单位的速度沿 $x$轴向左平移，设平移的时间为 $t$秒，平移后的直尺为 $W\text{'}X\text{'}Y\text{'}Z\text{'}$，其中边 $X\text{'}Y\text{'}$所在的直线与 $x$轴交于点 $M$，与抛物线的其中一个交点为点 $N$，请直接写出当 $t$为何值时，可使得以 $C$、 $D$、 $M$、 $N$为顶点的四边形是平行四边形．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{(x+1)}^2-3$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C(0,-\frac{8}{3})$，顶点为 $D$，对称轴与 $x$轴交于点 $H$，过点 $H$的直线 $l$交抛物线于 $P$， $Q$两点，点 $Q$在 $y$轴的右侧．

（1）求 $a$的值及点 $A$， $B$的坐标；

（2）当直线 $l$将四边形 $\mathit{ABCD}$分为面积比为 $3:7$的两部分时，求直线 $l$的函数表达式；

（3）当点 $P$位于第二象限时，设 $\mathit{PQ}$的中点为 $M$，点 $N$在抛物线上，则以 $\mathit{DP}$为对角线的四边形 $\mathit{DMPN}$能否为菱形？若能，求出点 $N$的坐标；若不能，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=m{x}^2+4\mathit{mx}-5m(m<0)$与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），该抛物线的对称轴与直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$相交于点 $E$，与 $x$轴相交于点 $D$，点 $P$在直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$上（不与原点重合），连接 $\mathit{PD}$，过点 $P$作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PD}$交 $y$轴于点 $F$，连接 $\mathit{DF}$．

（1）如图①所示，若抛物线顶点的纵坐标为 $6\sqrt{3}$，求抛物线的解析式；

（2）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（3）如图②所示，小红在探究点 $P$的位置发现：当点 $P$与点 $E$重合时， $\angle \mathit{PDF}$的大小为定值，进而猜想：对于直线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$上任意一点 $P$（不与原点重合）， $\angle \mathit{PDF}$的大小为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．

如图，顶点为 $M$的抛物线 $y=a{(x+1)}^2-4$分别与 $x$轴相交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的右侧），与 $y$轴相交于点 $C(0,-3)$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）判断 $\mathit{\Delta BCM}$是否为直角三角形，并说明理由．

（3）抛物线上是否存在点 $N$（点 $N$与点 $M$不重合），使得以点 $A$， $B$， $C$， $N$为顶点的四边形的面积与四边形 $\mathit{ABMC}$的面积相等？若存在，求出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

已知二次函数 $y＝x^2\mathit{﹣（}2k+1）x+k^2+k（k＞0）$

（1）当 $k＝\frac{1}{2}$时，求这个二次函数的顶点坐标；

（2）求证：关于x的一元二次方程

有两个不相等的实数根；

（3）如图，该二次函数与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于C点，P是y轴负半轴上一点，且 $\mathit{OP}＝1$，直线AP交BC于点Q，求证： $\frac{1}{O{A}^2}+\frac{1}{A{B}^2}=\frac{1}{A{Q}^2}$．

如图，直线 $l：y\mathit{＝﹣}x+1$与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P，Q是直线l上的两个动点，且点P在第二象限，点Q在第四象限， $\angle \mathit{POQ}＝135°$．

（1）求△AOB的周长；

（2）设 $\mathit{AQ}＝t＞0$，试用含t的代数式表示点P的坐标；

（3）当动点P，Q在直线l上运动到使得△AOQ与△BPO的周长相等时，记 $\mathit{tan}\angle \mathit{AOQ}＝m$，若过点A的二次函数 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c$同时满足以下两个条件：

① $6a+3b+2c＝0$；

②当 $m\le x\le m+2$时，函数y的最大值等于 $\frac{2}{m}$，求二次项系数a的值．

已知抛物线 $y＝a（x-1{）}^2-3（a\ne 0）$的图象与y轴交于点 $A（0\mathit{，﹣}2）$，顶点为B．

（1）试确定a的值，并写出B点的坐标；

（2）若一次函数的图象经过A、B两点，试写出一次函数的解析式；

（3）试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值；

（4）若将抛物线平移 $m（m\ne 0）$个单位，所得新抛物线的顶点记作C，与原抛物线的交点记作D，问：点O、C、D能否在同一条直线上？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

如图①，直线 $y＝\frac{4}{3}x+4$交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F₁交x轴于另一点B（1，0）．

（1）求抛物线F₁所表示的二次函数的表达式；

（2）若点M是抛物线F₁位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S_{四边形MAOC}和S_△BOC，记 $S＝S_{\mathit{四边形}\mathit{MAOC}}﹣S_{△\mathit{BOC}}$，求S最大时点M的坐标及S的最大值；

（3）如图②，将抛物线F₁沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F₂，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

问题探究：

1．新知学习

若把将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“面线”，其“面线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“面径”（例如圆的直径就是圆的“面径”）．

2．解决问题

已知等边三角形ABC的边长为2．

（1）如图一，若 $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$，垂足为D，试说明AD是△ABC的一条面径，并求AD的长；

（2）如图二，若 $\mathit{ME}\parallel \mathit{BC}$，且ME是△ABC的一条面径，求面径ME的长；

（3）如图三，已知D为BC的中点，连接AD，M为AB上的一点 $（0＜\mathit{AM}＜1）$，E是DC上的一点，连接ME，ME与AD交于点O，且 $S_{△\mathit{MOA}}＝S_{△\mathit{DOE}}$．

①求证：ME是△ABC的面径；

②连接AE，求证： $\mathit{MD}\parallel \mathit{AE}$；

（4）请你猜测等边三角形ABC的面径长l的取值范围（直接写出结果）

如图①，在△ABC中， $\angle \mathit{ACB}＝90°$， $\angle B＝30°$， $\mathit{AC}＝1$，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．

（1）计算矩形EFGH的面积；

（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{16}$时，求矩形平移的距离；

（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E₁F₁G₁H₁，将矩形E₁F₁G₁H₁绕G₁点按顺时针方向旋转，当H₁落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E₂F₂G₁H₂，设旋转角为α，求cosα的值．

如图，抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c$（a、b、c为常数， $a\ne 0$）经过点A（﹣1，0），B（5，﹣6），C（6，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点，试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个？并请求出其中某一个点Q的坐标．

如图，已知抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c（a\ne 0）$经过A（﹣3，0）、B（5，0）、C（0，5）三点，O为坐标原点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若把抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}+c（a\ne 0）$向下平移 $\frac{\text{13}}{\text{3}}$个单位长度，再向右平移 $n（n＞0）$个单位长度得到新抛物线，若新抛物线的顶点M在△ABC内，求n的取值范围；

（3）设点P在y轴上，且满足 $\angle \mathit{OPA}+\angle \mathit{OCA}＝\angle \mathit{CBA}$，求CP的长．

如图，抛物线y＝ax²+bx+c经过△ABC的三个顶点，与y轴相交于 $(0,\frac{9}{4})$，点A坐标为 $\mathit{（﹣}1,2）$，点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．

（1）求该抛物线的函数关系表达式．

（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．

（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由．

如图1，矩形ABCD中， $\mathit{AB}＝7\mathit{cm}$ ， $\mathit{AD}＝4\mathit{cm}$，点E为AD上一定点，点F为AD延长线上一点，且 $\mathit{DF}＝\mathit{acm}$，点P从A点出发，沿AB边向点B以2cm/s的速度运动，连结PE，设点P运动的时间为ts，△PAE的面积为ycm²，当 $0\le t\le 1$时，△PAE的面积y（cm²）关于时间t（s）的函数图象如图2所示，连结PF，交CD于点H．

（1）t的取值范围为   　，AE＝　 　cm；

（2）如图3，将△HDF沿线段DF进行翻折，与CD的延长线交于点M，连结AM，当a为何值时，四边形PAMH为菱形？并求出此时点P的运动时间t；

（3）如图4，当点P出发1s后，AD边上另一动点Q从E点出发，沿ED边向点D以1cm/s的速度运动，如果P，Q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动，连结PQ，QH．若 $a=\frac{4}{3}\text{cm}$，请问△PQH能否构成直角三角形？若能，请求出点P的运动时间t；若不能，请说明理由．

如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于C（0，﹣2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）H是C关于x轴的对称点，P是抛物线上的一点，当△PBH与△AOC相似时，求符合条件的P点的坐标（求出两点即可）；

（3）过点C作 $\mathit{CD}\parallel \mathit{AB}$，CD交抛物线于点D，点M是线段CD上的一动点，作直线MN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且 $\angle \mathit{BME}＝\angle \mathit{BDC}$，当CN的值最大时，求点E的坐标．