高中数学空间向量的应用试题

如图，四棱锥中，底面是菱形，，，,,,是的中点，上的点满足．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．

如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，点是的中点，，交于点．

（1）求证：平面平面；
（2）求三棱锥的体积．

已知平行四边形ABCD(图1)中,AB=4,BC=5,对角线AC=3,将三角形ACD沿AC折起至PAC位置(图2),使二面角为60⁰,G,H分别是PA,PC的中点.

（1）求证:PC平面BGH;
（2）求平面PAB与平面BGH夹角的余弦值.

如图,在底面为平行四边形的四棱柱中,底面,,,．

（Ⅰ)求证:平面平面；
（Ⅱ）若,求四棱锥的体积．

等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足(如图1).将△沿折起到△的位置,使二面角为直二面角,连结、 (如图2).

（Ⅰ）求证:平面;
（Ⅱ）在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由.

如图，四边形ABCD为矩形，四边形ADEF为梯形，AD//FE，∠AFE=60º，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，点G为AC的中点．

（Ⅰ）求证：EG//平面ABF；
（Ⅱ）求三棱锥B-AEG的体积；
（Ⅲ）试判断平面BAE与平面DCE是否垂直？若垂直，请证明；若不垂直，请说明理由．

如图，在三棱锥底面ABC，且SB=分别是SA、SC的中点．

（Ⅰ）求证：平面平面BCD；
（Ⅱ）求二面角的平面角的大小．

如图，平面，是矩形，，点是的中点，点是边上的动点.

（Ⅰ）求三棱锥的体积；
（Ⅱ）当点为的中点时，试判断与平面的位置关系，并说明理由；
（Ⅲ）证明：无论点在边的何处，都有.

如图，已知平面，四边形是矩形，，，点，分别是，的中点．

（Ⅰ）求三棱锥的体积；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）若点为线段中点，求证：∥平面．

直三棱柱中，，，，D为BC中点.

（Ⅰ）求证：;
（Ⅱ）求证：;
（Ⅲ）求二面角的正弦值.

（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，AB＝BC＝1，BB₁＝2，∠BCC₁＝60°。

（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）设＝λ（0≤A≤1），且平面AB₁E与BB₁E所成的锐二面角的大小为30°，试求λ的值．

四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，又PA＝PD，∠APD＝60°，E、G分别是BC、PE的中点．

(1)求证：AD⊥PE；
(2)求二面角E－AD－G的正切值．

如图：长方形所在平面与正所在平面互相垂直，分别为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）试问：在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，试指出点 
的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：

（1）PA∥平面MDB；
（2）PD⊥BC．

如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.